MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 45

Stosujemy wzory na funkcje sumy i roznicy dla $\alpha=60^\circ$ i $\beta=45^\circ$. Otrzymujemy katy $105^\circ$ oraz $15^\circ$. Dla tangensa korzystamy ze wzoru ilorazowego i usuwamy niewymiernosc z mianownika.

Rozpoznajemy bezposrednio wzory na funkcje sumy lub roznicy katow.

a) Wyrazenie jest rowne $\sin(\frac\pi{20}+\frac\pi5)=\sin\frac\pi4$.

b) Otrzymujemy $\cos(\frac{2\pi}{3}+\frac\pi6)=\cos\frac{5\pi}{6}$.

c) Jest to $\operatorname{tg}(\frac\pi{12}+\frac\pi4)=\operatorname{tg}\frac\pi3$.

d) Jest to $\operatorname{tg}(\frac{5\pi}{6}-\frac\pi{12})=\operatorname{tg}\frac{3\pi}{4}$.

Stosujemy wzory polowkowe, dobierajac znaki z przedzialu, do ktorego nalezy $\frac\alpha2$.

a) Z $\sin\alpha=\frac35$ w II cwiartce wynika $\cos\alpha=-\frac45$.

b) $\frac\alpha2$ lezy w II cwiartce, wiec cosinus polowy jest ujemny.

c) Z $\operatorname{tg}\alpha=\frac{12}{5}$ w I cwiartce mamy $\sin\alpha=\frac{12}{13}$ i $\cos\alpha=\frac5{13}$.

d) Z proporcji $\cos\alpha:\sin\alpha=7:24$ w III cwiartce mamy $\cos\alpha=-\frac7{25}$, a $\frac\alpha2$ lezy w II cwiartce.

a) W II cwiartce $\cos\alpha=-\frac{3\sqrt{11}}{10}$, wiec $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{3\sqrt{11}}{50}$.

b) Podane w druku $\cos\alpha=-\frac13$ i $\alpha\in(\frac{3\pi}{2};2\pi)$ sa sprzeczne, lecz szukana wartosc nie zalezy od znaku cosinusa:

c)

d)

a) Niech $\alpha$ bedzie katem miedzy przekatna a krotszym bokiem. Kat rozwarty miedzy przekatnymi ma miare $2\alpha$, wiec

b) Niech $\beta$ bedzie katem przekatnej z dluzszym bokiem. Ostry kat miedzy przekatnymi ma miare $2\beta$, zatem

Kat $\beta$ jest ostry, wiec $\cos\beta=\frac34$.

Korzystamy z $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$ i $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$.

W liczniku $B$ otrzymujemy

wiec $B=-1$ w punktach dziedziny. Ponadto

a) $\operatorname{tg}225^\circ=1$, a $\operatorname{tg}75^\circ\sin15^\circ=\sin75^\circ$, poniewaz $\sin15^\circ=\cos75^\circ$.

b)