MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 46

Korzystamy z definicji cotangensa i wzorow na sinus oraz cosinus sumy i roznicy.

a)

$$\operatorname{ctg}(\alpha+\beta) =\frac{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta} {\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}.$$

Po podzieleniu licznika i mianownika przez $\sin\alpha\sin\beta$ otrzymujemy pierwszy wzor.

b) Analogicznie

$$\operatorname{ctg}(\alpha-\beta) =\frac{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta} {\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta},$$

a ten sam podzial daje drugi wzor.

Trzeci kat ma miare $45^\circ$, wiec $\alpha+\beta=135^\circ$ i

$$\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=-1.$$

Ze wzoru na tangens sumy

$$\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta} {1-\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}=-1.$$

Po uporzadkowaniu

$$\operatorname{tg}\beta(\operatorname{tg}\alpha-1) =\operatorname{tg}\alpha+1.$$

Warunek, ze dokladnie jeden kat ma $45^\circ$, wyklucza $\operatorname{tg}\alpha=1$, wiec mozna podzielic przez $\operatorname{tg}\alpha-1$.

Katy przy podstawie maja miare $\alpha$, zatem $\beta=\pi-2\alpha$. Poniewaz $\alpha$ jest ostry, $\sin\alpha=\sqrt{1-c^2}$. Stad

$$\cos\beta=-\cos2\alpha=1-2c^2,$$ $$\sin\beta=\sin2\alpha=2c\sqrt{1-c^2}.$$

Tangens jest ilorazem tych wartosci, o ile $1-2c^2\ne0$.

Dla prostych o wspolczynnikach kierunkowych $m_1,m_2$ kat ostry $\gamma$ spelnia

\operatorname{tg}\gamma=left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}\right|.

a) Dla $m_1=\frac15$, $m_2=\frac32$ otrzymujemy $\operatorname{tg}\gamma=1$.

b) Dla $m_1=\frac{\sqrt3}{5}$, $m_2=3\sqrt3$ otrzymujemy $\operatorname{tg}\gamma=\sqrt3$.

c) Dla $m_1=\frac{\sqrt3}{3}$, $m_2=\sqrt3$ otrzymujemy $\operatorname{tg}\gamma=\frac{\sqrt3}{3}$.

d) Rownania kierunkowe maja nachylenia $\frac92$ i $2$, zatem $\operatorname{tg}\gamma=\frac14$.