MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 44

a) Obie strony upraszczaja sie do $\sin x\cos x$, wiec rownosc jest tozsamoscia.

b) Nie jest tozsamoscia. Dla $x=\frac\pi6$ lewa strona wynosi $4+\frac{2\sqrt3}{3}$, a prawa $\frac{10}{3}$.

c) Nie jest tozsamoscia. Dla $x=0$ lewa strona jest rowna $1$, a prawa $-1$.

d) W dziedzinie obu stron wyrazenie w nawiasie ma postac

$$\frac{\sqrt2}{2}\left(\frac{\sin x}{\operatorname{tg}x}+ \frac{\cos x}{\operatorname{ctg}x}\right) =\frac{\sqrt2}{2}(\cos x+\sin x).$$

Po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy $\frac12+\sin x\cos x$, zatem jest to tozsamosc.

a) W dziedzinie wyrazenia

$$\sin^2x-\operatorname{tg}^2x =-\frac{\sin^4x}{\cos^2x}, \qquad \cos^2x-\operatorname{ctg}^2x =-\frac{\cos^4x}{\sin^2x}.$$

Iloraz jest wiec rowny $\frac{\sin^6x}{\cos^6x}=\operatorname{tg}^6x$.

b) Rozklad sumy szescianow i wyciagniecie wspolnego czynnika w mianowniku daja

$$\frac{(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)} {\sin x\cos x(\sin x+\cos x)} =\frac1{\sin x\cos x}-1 =\operatorname{tg}x+\operatorname{ctg}x-1.$$

Pierwotny zapis wymaga $\sin x\ne0$ i $\cos x\ne0$, zatem

$$D=\mathbb R\setminus\left\{\frac{k\pi}{2}:k\in\mathbb Z\right\}.$$

W tej dziedzinie licznik upraszcza sie do $\sin^3x$, a mianownik do

$$\sin^3x+\frac{\cos^3x}{\operatorname{ctg}x} =\sin^3x+\sin x\cos^2x=\sin x.$$

Stad $f(x)=\sin^2x$. Funkcja $\sin^2x$ ma okres podstawowy $\pi$, a zbior wykluczen jest niezmienniczy przy takim przesunieciu.

Mnozymy rownanie przez $\cos x\ne0$:

$$\sin x+\cos^2x=\frac1{\sqrt2}.$$

Dla $s=\sin x$ i $\cos^2x=1-s^2$ otrzymujemy

$$s^2-s+\left(\frac1{\sqrt2}-1\right)=0.$$

Pierwiastki maja postac $\frac{1\pm\sqrt{5-2\sqrt2}}2$. Wartosc ze znakiem plus jest wieksza od $1$, wiec nie moze byc sinusem.

Niech $t=\operatorname{tg}x\ne0$. Z warunku

$$t^4+t^{-4}=7$$

wynika

$$(t^2+t^{-2})^2=9,$$

a poniewaz $t^2+t^{-2}>0$, mamy $t^2+t^{-2}=3$. Zatem

$$\left|t-t^{-1}\right| =\sqrt{t^2+t^{-2}-2}=1.$$

Oznaczmy $t=\operatorname{tg}x$ i wykonujmy przeksztalcenia w dziedzinie wyrazenia. Kolejne mianowniki od srodka maja postac

$$1-\frac1t=\frac{t-1}{t},$$ $$1-\frac1{(t-1)/t}=1-\frac{t}{t-1}=\frac1{1-t},$$ $$1-\frac1{1/(1-t)}=t.$$

Cale wyrazenie jest wiec rowne $\frac1t=\operatorname{ctg}x$.

Wyroznik rownania kwadratowego jest rowny

$$\Delta=1-\sin^2a=\cos^2a\ge0.$$

Pierwiastki maja zatem postac

$$x_1=\frac{1-|\cos a|}{2}, \qquad x_2=\frac{1+|\cos a|}{2}.$$

Poniewaz $|\cos a|\in[0;1]$, zawsze $x_2\in\left[\frac12;1\right]$. To dowodzi tezy.

Korzystamy z $1-2\sin^2x=\cos2x$ oraz $2\cos^2x-1=\cos2x$:

$$f(x)=\frac{\sin x\cos2x}{\cos x\cos2x}=\operatorname{tg}x$$

we wszystkich punktach pierwotnej dziedziny, w ktorych skrocenie jest dozwolone. Usuniete zera $\cos2x$ nie zmieniaja zachowania przy $\frac\pi2$. Poniewaz

$$\lim_{x\to(\pi/2)^-}\operatorname{tg}x=+\infty, \qquad \lim_{x\to(\pi/2)^+}\operatorname{tg}x=-\infty,$$

prosta $x=\frac\pi2$ jest asymptota pionowa.

Niech $t=\operatorname{tg}x$, wiec $\operatorname{ctg}x=t^{-1}$. Dla argumentow z dziedziny:

a)

$$\frac{1-t^{2n}}{1-t^{-2n}} =\frac{1-t^{2n}}{(t^{2n}-1)/t^{2n}} =-t^{2n} =-\frac{t^n}{t^{-n}}.$$

b) Zamiana $t$ na $t^{-1}$ w poprzednim rachunku daje

$$\frac{1-t^{-2n}}{1-t^{2n}}=-t^{-2n} =-\frac{t^{-n}}{t^n}.$$

a) Oznaczmy $t=\operatorname{tg}x$ i $u=\operatorname{tg}y$. W dziedzinie obu stron

$$\frac{t+u}{t^{-1}+u^{-1}} =\frac{t+u}{(t+u)/(tu)}=tu.$$

b) Z tozsamosci $1+\operatorname{ctg}^2z=\frac1{\sin^2z}$ wynika

$$\operatorname{ctg}^2x-\operatorname{ctg}^2y =\left(\frac1{\sin^2x}-1\right)- \left(\frac1{\sin^2y}-1\right),$$

co jest prawa strona rownosci.