MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 43

a) Cosinus jest dodatni, a tangens ujemny, wiec sinus jest ujemny. Z jedynki trygonometrycznej

$$\sin x=-\sqrt{1-\frac18}=-\frac{\sqrt{14}}4.$$

b) Tangens jest dodatni i sinus dodatni, wiec kat lezy w I cwiartce. Dla przyprostokatnych w stosunku $2:1$ przeciwprostokatna ma dlugosc $\sqrt5$.

Po podniesieniu warunku do kwadratu otrzymujemy

$$1+2\sin x\cos x=\frac15,$$

czyli $\sin x\cos x=-\frac25$.

b) $\sin^4x+\cos^4x=1-2\sin^2x\cos^2x$.

c) $\sin^3x+\cos^3x=(\sin x+\cos x)^3-3\sin x\cos x(\sin x+\cos x)$.

d) $(\sin x-\cos x)^2=1-2\sin x\cos x=\frac95$.

Obecnosc tangensa i cotangensa wymaga $\sin x\ne0$ i $\cos x\ne0$, zatem

$$D=\mathbb R\setminus\left\{\frac{k\pi}{2}:k\in\mathbb Z\right\}.$$

W tej dziedzinie

$$(\cos x-\cos^3x)(\operatorname{tg}x+\operatorname{ctg}x) =\cos x\sin^2x\cdot\frac1{\sin x\cos x}=\sin x.$$

Wykres jest zatem sinusoida z usunietymi punktami o odcietych $\frac{k\pi}{2}$.

Niech $t=\operatorname{tg}x$, wtedy $\operatorname{ctg}x=\frac1t$ i

$$t-\frac1t=\sqrt3.$$

Po podniesieniu do kwadratu dostajemy $t^2+t^{-2}=5$. Dalej

$$t^3-t^{-3}=\left(t-t^{-1}\right)\left(t^2+1+t^{-2}\right)=6\sqrt3,$$

oraz

$$\left|t+t^{-1}\right|=\sqrt{t^2+2+t^{-2}}=\sqrt7.$$

Oznaczmy $q=\operatorname{ctg}x$ i w kazdym wyrazeniu dzialajmy w jego dziedzinie.

a) Po podzieleniu licznika i mianownika przez $\sin x$ otrzymujemy $\frac{q+1}{q-1}$.

b) $\frac{\cos^2x-\sin^2x}{\sin x\cos x}=q-\frac1q=\frac{q^2-1}{q}$.

c) Licznik jest rowny $2\sin^2x\cos^2x$, a mianownik $\cos^2x$, wiec wynik to $2\sin^2x=\frac2{1+q^2}$.

d) Po podstawieniu $\cos x=q\sin x$ i $\sin^2x=\frac1{1+q^2}$ otrzymujemy

$$\frac{q^2}{(1-q)(q^2+q+1)}=\frac{q^2}{1-q^3}.$$

a) Korzystamy z $1+\operatorname{tg}^2x=\frac1{\cos^2x}$ i $1+\operatorname{ctg}^2x=\frac1{\sin^2x}$:

$$\frac1{1+\operatorname{tg}^2x}+\frac1{1+\operatorname{ctg}^2x} =\cos^2x+\sin^2x=1.$$

b) Licznik upraszcza sie do

$$\cos x\sin^3x(\sin^2x-1)=-\sin^3x\cos^3x,$$

a mianownik do tej samej wartosci. Iloraz wynosi $1$.

a) Grupujemy skladniki wedlug funkcji kata $x$:

$$a^2+b^2+c^2+d^2 =\sin^2x(\sin^2y+\cos^2y)+\cos^2x(\sin^2y+\cos^2y)=1.$$

b) Analogicznie

$$a^2+b^2=\sin^2x,qquad c^2+d^2=\cos^2x,$$

wiec ich iloraz jest rowny $\operatorname{tg}^2x$ w dziedzinie wyrazenia.

Niech $s=\sin x$.

a)

$$\frac{\operatorname{tg}x+\operatorname{ctg}x}{\operatorname{tg}x-\operatorname{ctg}x} =\frac1{2s^2-1}.$$

b) Po sprowadzeniu do mianownika $s\cos^2x$ wyrazenie upraszcza sie do $\frac1s$.

c) Sprowadzamy skladniki do wspolnego mianownika:

$$\frac{\cos^2x}{1+\operatorname{tg}x}+ \frac{\sin x\cos x}{1-\operatorname{tg}x} =\frac{\cos^2x}{\cos^2x-\sin^2x} =\frac{1-s^2}{1-2s^2}.$$

Podstawiamy $s=\frac23$.

Z warunkow wynika

$$\operatorname{tg}x=-\frac34=\operatorname{tg}y.$$

Zatem $x-y=k\pi$. Poniewaz

$$W=\sin x\sin y+\cos x\cos y=\cos(x-y),$$

wartosc zalezy od parzystosci $k$.

Skan strony 43 potwierdza, ze czynniki $\cos x$ i $\sin x$ stoja poza odpowiednimi pierwiastkami. Obecnosc tangensa i cotangensa daje

$$D=\mathbb R\setminus\left\{\frac{k\pi}{2}:k\in\mathbb Z\right\}.$$

W tej dziedzinie

$$\sqrt{\operatorname{tg}^2x-\sin^2x}\,\cos x =\sin^2x\frac{\cos x}{|\cos x|},$$ $$\sqrt{\operatorname{ctg}^2x-\cos^2x}\,\sin x =\cos^2x\frac{\sin x}{|\sin x|}.$$

W III cwiartce oba znaki sa ujemne, wiec $f=-1$; w I cwiartce oba sa dodatnie, wiec $f=1$. W pozostalych dwoch cwiartkach funkcja nie jest stala.