MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 42

Korzystamy z $\sin^2x+\cos^2x=1$, a znaki dobieramy z podanej cwiartki. Nastepnie liczymy $\operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$ i $\operatorname{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$.

a) $\sin x=\sqrt{1-\frac13}=\frac{\sqrt6}{3}$.

b) W II cwiartce $\cos x=-\sqrt{1-\frac15}=-\frac{2\sqrt5}{5}$.

c) W III cwiartce $\sin x=-\sqrt{1-\frac9{100}}=-\frac{\sqrt{91}}{10}$.

d) Dla proporcji $\cos x:\sin x=\sqrt6:1$ i znakow z III cwiartki otrzymujemy promien $\sqrt7$.

e) Proporcja $\sin x:\cos x=-3:1$ oraz II cwiartka daja dodatni sinus i ujemny cosinus.

f) Proporcja $\cos x:\sin x=-2:5$ oraz IV cwiartka daja dodatni cosinus i ujemny sinus.

Dla argumentow nalezacych do dziedziny obu stron:

a)

$$\frac{\operatorname{tg}x-\operatorname{ctg}x}{\operatorname{ctg}x} =\frac{\operatorname{tg}x}{\operatorname{ctg}x}-1=\operatorname{tg}^2x-1.$$

b)

$$(1+\operatorname{tg}x)(1+\operatorname{ctg}x) =2+\operatorname{tg}x+\operatorname{ctg}x =2+\frac1{\sin x\cos x}.$$

c)

$$(1+\operatorname{ctg}^2x)(1-\cos^2x) =\frac1{\sin^2x}\sin^2x=1.$$

d)

$$\operatorname{tg}^2x-\operatorname{ctg}^2x =\frac{\sin^4x-\cos^4x}{\sin^2x\cos^2x} =\frac{\sin^2x-\cos^2x}{\sin^2x\cos^2x}.$$

W kazdym podpunkcie przeksztalcamy lewa strone w dziedzinie wyrazenia.

a) $\sin^2x=(1-\cos x)(1+\cos x)$.

b) Pomnozenie pierwszego ulamka przez $\frac{1-\sin x}{1-\sin x}$ daje $\frac{\cos x}{1-\sin x}$.

c) Licznik jest rowny $\sin x\cos x(\sin^2x+\cos^2x)$, wiec iloraz wynosi $1$.

d)

$$\frac{1-\operatorname{ctg}^2x}{1+\operatorname{ctg}^2x} =\sin^2x-\cos^2x=2\sin^2x-1.$$

e) Dla $t=\operatorname{tg}x$ lewa strona wynosi $\frac{1+t^3}{1+t^{-3}}=t^3$, podobnie jak prawa.

f) Dla tego samego $t$ lewa strona wynosi $\frac{1-t^4}{1-t^{-4}}=-t^4$, podobnie jak prawa.

a) Stosujemy wzor na roznice kwadratow:

$$\left(\frac{\sin x+\cos x}{2}\right)^2- \left(\frac{\sin x-\cos x}{2}\right)^2 =\sin x\cos x.$$

b)

$$\left(\sin x-\frac1{\sin x}\right) \left(\cos x-\frac1{\cos x}\right) =\frac{-\cos^2x}{\sin x}\cdot\frac{-\sin^2x}{\cos x} =\sin x\cos x.$$

Dla argumentow, dla ktorych zapisane wyrazenia sa okreslone:

a) $\frac{\cos x+\sin x}{\cos x}=1+\operatorname{tg}x=\operatorname{tg}x(1+\operatorname{ctg}x)$.

b) $\frac{\sin x+\operatorname{tg}x}{\sin x}=1+\frac1{\cos x}$.

c)

$$\frac1{\cos x}-\sin x\operatorname{tg}x =\frac{1-\sin^2x}{\cos x}=\cos x.$$

d)

$$\sin x(1+\operatorname{ctg}^2x)=\frac1{\sin x} =\frac1{\cos x\operatorname{tg}x}.$$

a)

$$\frac{1+\cos x}{\operatorname{tg}x+\sin x} =\frac{1+\cos x}{\frac{\sin x}{\cos x}+\sin x} =\frac{\cos x}{\sin x}=\operatorname{ctg}x.$$

b) $\operatorname{ctg}^2x-\operatorname{tg}^2x=(1+\operatorname{ctg}^2x)-(1+\operatorname{tg}^2x)=\frac1{\sin^2x}-\frac1{\cos^2x}$.

c) $\operatorname{tg}x+\operatorname{ctg}x=\frac1{\sin x\cos x}$, wiec rownosc zachodzi takze po wziesiu modulow.

d) Dla $t=\operatorname{tg}x$:

$$\frac{t}{1-t^{-2}}+\frac{t^{-1}}{1-t^2} =\frac{t^2+1}{t}=t+\frac1t=\frac1{\sin x\cos x}.$$