MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 41

Korzystamy z $\sqrt{\sin^2 t}=|\sin t|$. Warunek przechodzenia przez $A(\pi,2)$ ma postac

wiec $a=1$. Dla $x=-2\pi$ otrzymujemy

zatem punkt $B$ rowniez nalezy do wykresu.

Mamy $f(x)=|\sin x|\le1$ oraz $g(x)=1+|\operatorname{ctg}x|\ge1$. Rownosc wartosci jest zatem mozliwa tylko wtedy, gdy obie sa rowne $1$. Otrzymujemy

czyli $x=\frac\pi2+k\pi$. Kazdy punkt wspolny ma wiec rzedna $1$.

Poniewaz cosinus jest parzysty, $\cos|x|=\cos x$. Dla argumentow innych niz miejsca zerowe cosinusa

W punktach $x=\frac\pi2+k\pi$ definicja nadaje wartosc $0$. Przesuniecie o $\pi$ zmienia znak funkcji, a przesuniecie o $2\pi$ jej nie zmienia, wiec okresem podstawowym jest $2\pi$.

Poniewaz $|\cos x|\in[0;1]$, mianownik nalezy do $[2;3]$. Funkcja $t\mapsto\frac2{2+t}$ jest malejaca, zatem wartosci skrajne otrzymujemy dla $t=1$ i $t=0$.

Parzystosc cosinusa daje $\cos|2x|=\cos2x$. W przedziale $[-\pi;\pi]$

Ponadto $\left|\frac{x}{2}\right|\le\frac\pi2$, wiec

Przeciecie obu zbiorow daje dwa otwarte przedzialy.

Dla $x\ge0$ funkcja ma postac $|\sin(x-a)|$ i jej dodatnie okresy sa wielokrotnosciami $\pi$. Aby okres $n\pi$ dzialal rowniez przy przejsciu przez punkt $0$, musi zachodzic

Po podniesieniu do kwadratu roznica obu stron jest rowna

Warunek jest wiec rownowazny $\sin2a=0$. Dla takich wartosci funkcja redukuje sie, z dokladnoscia do przesuniecia, do $|\sin x|$ albo $|\cos x|$ i rzeczywiscie jest okresowa.

Funkcja $\left|\sin\left(x-\frac\pi4\right)\right|$ ma zbior wartosci $[0;1]$. Dla $a\ge0$ zbiorem wartosci bylby $[-1;a-1]$, a dla $a<0$ jest nim $[a-1;-1]$. Tylko drugi przypadek moze dac $[-3;-1]$, skad $a-1=-3$.

a) Pod pierwiastkiem znajduje sie kwadrat:

zatem $f(x)=|\operatorname{tg}^2x-1|$ dla $x\ne\frac\pi2+k\pi$. Wykres otrzymujemy z $y=\operatorname{tg}^2x-1$, odbijajac fragmenty ponizej osi $OX$.

b) Wyrazenie pod pierwiastkiem jest szescianem:

Stad $f(x)=1-\operatorname{ctg}|x|$ dla $x\ne k\pi$. Funkcja jest parzysta; wystarczy narysowac jej czesc dla $x>0$ i odbic ja wzgledem osi $OY$.

a) Poniewaz $|\sin x|\in[0;1]$, koncami zbioru wartosci sa $b$ i $a+b$. Musi wiec zachodzic $\{b,a+b\}=\{-1,5\}$.

b) Parzystosc cosinusa daje $\cos|3x-\pi|=\cos(3x-\pi)$, a ta funkcja przyjmuje wszystkie wartosci z $[-1;1]$. Zatem

a) Niech $s=\sin x$. Wtedy

Na dodatnich polfalach sinusa wysokosc jest zatem trzykrotnie wieksza, a ujemne polfale sa odbite nad os $OX$.

b) Funkcja $\operatorname{tg}|x|$ jest parzysta. Na kazdej jej galezi przesuwamy wykres o $1$ w dol, po czym czesci ponizej osi $OX$ odbijamy ku gorze. Dziedzina wyklucza $x=\frac\pi2+k\pi$.