MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 40

Niech $t=|x|\geqslant0$. Tangens jest dodatni dla $t\in(k\pi;k\pi+\frac\pi2)$, $k=0,1,2,\ldots$.

Na przedziale $(0;\frac\pi2)$ mamy:

a) $g(x)=\operatorname{tg}x-1$, więc funkcja rośnie;

b) $g(x)=\operatorname{tg}(\frac{3\pi}{2}-x)=\operatorname{ctg}x$, więc maleje;

c) $g(x)=-\operatorname{tg}(\frac\pi2-x)=-\operatorname{ctg}x$, więc rośnie.

Funkcja jest parzysta. Dla $t=|x|\in[0,2\pi]$:

Równanie $f=0$ daje $t\in\{0,\pi,2\pi\}$, czyli pięć różnych argumentów $x$. Równanie $f=2$ wymaga $\sin t=\frac23$ na pierwszym fragmencie; są dwa dodatnie $t$, a więc cztery symetryczne argumenty $x$.

Iloczyn jest zerem, gdy $f(x)=-\frac12$ lub $g(x)=-\frac12$.

Pierwsze równanie ma postać

Argument tangensa przebiega przedział długości $4\pi$, więc otrzymujemy $8$ rozwiązań.

Drugie równanie to $\operatorname{tg}(|x|/2)=-\frac12$. Dla $|x|/2\in[0,2\pi]$ są dwa dodatnie argumenty, a symetria względem osi $OY$ daje $4$ rozwiązania. Oba zbiory są rozłączne.

Wartość bezwzględna funkcji sinus lub cosinus dzieli jej okres przez $2$. Zera pozostają tam, gdzie zeruje się wyrażenie pod modułem. W e) moduł sinusa jest nie większy niż $1$, więc po odjęciu $2$ nie może dać zera. W f) równanie $-|\cos2\pi x|+1=0$ jest równoważne $|\cos2\pi x|=1$.

Szukane wartości parametru są dokładnie zbiorem wartości funkcji.

a) $|\operatorname{tg}2x|$ przyjmuje wszystkie wartości nieujemne.

b) $|\operatorname{tg}(x/2)|-1$ ma minimum $-1$ i nie jest ograniczona z góry.

c) $-|\operatorname{ctg}(2x+\frac\pi2)|$ ma maksimum $0$ i nie jest ograniczona z dołu.

Rozpatrujemy znaki funkcji trygonometrycznych.

a) Dla $c=\cos x\geqslant0$ mamy $2c-|c|=c$, a dla $c<0$ — $2c-|c|=3c$.

b) $|s|-s$ jest równe $0$ dla $s\geqslant0$ i $-2s$ dla $s<0$.

c) Po obu stronach osi $OY$ wyrażenie przyjmuje wartości od $0$ do $2$.

d) Dla jednej połowy każdej pary symetrycznych gałęzi wynik jest $0$, a dla drugiej jest ujemny i nieograniczony z dołu.

Niech $u=|\sin x|\in[0,1]$. Równanie ma postać

więc możliwe poziomy odpowiadają $u=\frac14+\frac m2$ oraz $u=\frac14-\frac m2$. Dla każdej wartości $u\in(0,1)$ równanie $|\sin x|=u$ ma cztery rozwiązania w $(-\pi,\pi)$; dla $u=1$ ma dwa, a dla $u=0$ tylko jedno, ponieważ końce $\pm\pi$ są wyłączone.

Obie wartości bezwzględne są nieujemne. Gdyby ich suma była równa zeru, musiałoby jednocześnie zachodzić $\sin x=0$ i $\cos x=0$. Jest to niemożliwe, ponieważ

Na wspólnym wykresie widać to także jako brak argumentu, dla którego obie krzywe jednocześnie leżą na osi $OX$.