MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 39

Wartość bezwzględna skraca okres sinusa i cosinusa do $\pi$.

a) $|\sin(x-\pi)|=|-\sin x|=|\sin x|$.

b) $|\sin(x+\frac\pi2)|=|\cos x|$.

c) Jest to wykres $|\cos x|$ przesunięty o $\frac{2\pi}{3}$ w prawo. Przesunięcie nie zmienia okresu.

Ponieważ $\cos x\leqslant1$ i $\cos x+2>0$,

Równość $f=g$ sprowadza się do $1-\cos x=|\sin x|$, co zachodzi dla $\cos x\in\{0,1\}$. Wszystkie trzy funkcje są równe tylko dla $\cos x=0$.

Ścisłe nierówności c) zachodzą dokładnie dla $0<\cos x<1$, a d) dla $-1<\cos x<0$.

Wykres $|\sin x|$ jest symetryczny względem wszystkich prostych $x=\frac{k\pi}{2}$. Przesunięcie pionowe nie zmienia osi symetrii. Dla $|\cos(x-\frac\pi4)|$ przesuwamy te osie o $\frac\pi4$, a dla $|\cos2x|$ dwukrotnie ściskamy je poziomo.

Wykresy $|\operatorname{tg}u|$ i $|\operatorname{ctg}u|$ są symetryczne zarówno względem prostych przez ich zera, jak i względem prostych będących asymptotami; w zmiennej $u$ są to osie $u=\frac{k\pi}{2}$. Uwzględniamy skalowanie i przesunięcie argumentu.

W d) $\operatorname{ctg}(\frac\pi2-x)=\operatorname{tg}x$.

Wyznaczamy przedział wartości wyrażenia wewnątrz modułu, a następnie odbijamy jego ujemną część.

a) $2\sin x\in[-2,2]$.

b) $2\sin x-1\in[-3,1]$ i przyjmuje $0$.

c) $3\cos x-3\in[-6,0]$.

d) $1-2\cos x\in[-1,3]$ i przyjmuje $0$.

W e–f korzystamy z $|\sin(-x)|=|\sin x|$.

Moduł wartości nie zmienia dziedziny tangensa. Wykluczamy argumenty, dla których argument tangensa jest równy $\frac\pi2+k\pi$.

Wykres każdego podpunktu otrzymujemy z tangensa przez przesunięcie poziome, odbicie części ujemnych nad oś $OX$, a następnie ewentualne skalowanie i przesunięcie pionowe.

Argument $|x|$ (lub jego liniowa wersja) przebiega wszystkie wartości nieujemne. Sinus i cosinus na $[0,+\infty)$ nadal przyjmują każdą wartość z $[-1,1]$, a tangens i cotangens na swoich kolejnych gałęziach — każdą wartość rzeczywistą.

W c) parzystość cosinusa daje $\cos|x/2|=\cos(x/2)$. Przesunięcia i mnożniki wyznaczają końcowe zbiory wartości.