MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 38

Wybierzmy $a=3$. Dla $f(x)=\sin3x$ pochodna ma znak cosinusa: $f'(x)=3\cos3x$.

Gdy $x\in[\frac\pi4,\frac\pi2]$, argument $3x$ należy do $[\frac{3\pi}{4},\frac{3\pi}{2}]$, gdzie cosinus jest niedodatni, więc funkcja maleje.

Gdy $x\in[\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{6}]$, argument $3x$ należy do $[2\pi,\frac{5\pi}{2}]$, gdzie cosinus jest nieujemny, więc funkcja rośnie.

Dla $g(x)=f(x/3)$ mnożymy wszystkie odcięte wykresu $f$ przez $3$:

$$g(x)= \begin{cases} -\frac{x}{3}-1&-18\leqslant x<-9,\\ 5-\frac{|x|}{3}&-9\leqslant x<3,\\ \frac{2x}{3}+2&x\geqslant3. \end{cases}$$

Dla $h(x)=f(-3x)$ odbijamy wykres względem osi $OY$ i trzykrotnie ściskamy poziomo:

$$h(x)= \begin{cases} -6x+2&x\leqslant-\frac13,\\ 5-3|x|&-\frac13<x\leqslant1,\\ 3x-1&1<x\leqslant2. \end{cases}$$

Z wzorów Viète’a suma pierwiastków równania wynosi

$$g(\alpha)=4\cos\left(\frac{3\pi}{2}-2\alpha\right)=-4\sin2\alpha.$$

Dla $\alpha\in(0;\pi)$ największa wartość $4$ jest przyjmowana, gdy $\sin2\alpha=-1$, czyli dla $\alpha=\frac{3\pi}{4}$.

Wówczas równanie ma postać $\frac14x^2-x-1=0$, czyli $x^2-4x-4=0$.

a) Kąt między ramionami ma miarę $\pi-2\alpha$. Ze wzoru na pole z dwóch boków i kąta między nimi:

$$P=\frac12\cdot2\cdot2\sin(\pi-2\alpha)=2\sin(\pi-2\alpha).$$

b) Dodatnie kąty trójkąta wymagają $0<\alpha<\frac\pi2$.

c) Pole jest największe, gdy $\sin(\pi-2\alpha)=1$, czyli $\alpha=\frac\pi4$. Kąt między ramionami wynosi wtedy $\frac\pi2$, a podstawa z twierdzenia Pitagorasa ma długość $2\sqrt2$.

W $g(x)=f(2x)$ dzielimy wszystkie granice dziedziny przez $2$, a w $h(x)=f(x/2)$ mnożymy je przez $2$.

a)

$$g(x)=\begin{cases}4x^2&-1\leqslant x\leqslant1,\\1&1<x\leqslant2, \end{cases}\quad h(x)=\begin{cases}\frac{x^2}{4}&-4\leqslant x\leqslant4,\\1&4<x\leqslant8. \end{cases}$$

b)

$$g(x)=\begin{cases}-(2x-1)^2&0\leqslant x\leqslant1,\\2x-2&1<x\leqslant3, \end{cases}\quad h(x)=\begin{cases}-(\frac{x}{2}-1)^2&0\leqslant x\leqslant4,\\\frac{x}{2}-2&4<x\leqslant12. \end{cases}$$