MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 37

Ze skanu odczytujemy wierzchołki wykresu $f$: $(-2,0)$, $(-1,2)$, $(0,0)$ i $(4,2)$.

a) Warunek $\frac{x}{2}\in[-2,4]$ daje $D_g=[-4,8]$. Wszystkie odcięte wierzchołków mnożymy przez $2$.

b) Warunek $4x\in[-2,4]$ daje $D_g=[-\frac12,1]$. Wszystkie odcięte dzielimy przez $4$.

Dla $k>0$ amplituda jest dodatnim mnożnikiem stojącym przed sinusem lub cosinusem, a okres wynosi $\frac{2\pi}{b}$, gdzie $b$ jest współczynnikiem przy $x$.

Porównujemy kolejno: $k\pi=\frac{2\pi}{k}$, $k=\frac2k$, $k=\frac{2\pi}{k}$ oraz $k\pi=\frac2k$.

Na pierwszym fragmencie wprowadzamy $u=\frac{x}{2}-\frac{3\pi}{4}$. Dla $x\in[-4\pi;-\frac{5\pi}{2})$ mamy, modulo $2\pi$, $u\in[-\frac{3\pi}{4};0)$. Najmniejsza wartość tej części to

dla $x=-4\pi$.

Drugi fragment $\sin x$ obejmuje dwa pełne okresy, więc osiąga $-1$ i $1$. Wartość $1$ jest przyjmowana dla $x=-\frac{3\pi}{2}$ i $x=\frac\pi2$.

Symetria środkowa względem $(p,q)$ przekształca wykres $f$ w

Dla $p=\frac\pi4$, $q=-\frac32$ mamy

Miejsca zerowe spełniają $ax=k\pi$, więc mają postać $x=\frac{k\pi}{a}$. Przedział jest symetryczny i zawiera $0$. Każdemu dodatniemu zeru odpowiada różne zero ujemne, a dodatkowo zawsze występuje zero $x=0$. Liczba zer w takim przedziale jest zatem nieparzysta.