MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 36

Podstawiamy współrzędne punktu i rozwiązujemy równanie tangensowe, wybierając najmniejsze dodatnie $a$.

a) $\operatorname{tg}(a\pi)=1$, więc $a=\frac14+k$.

b) $\operatorname{tg}(-a\pi)=1$, więc $a=-\frac14-k$.

c) $\operatorname{tg}(\frac{a\pi}{\sqrt3})=\frac1{\sqrt3}$, więc $a=\frac{\sqrt3}{6}+k\sqrt3$.

Ze skanu odczytujemy: czerwona krzywa ma amplitudę $2$ i okres $4\pi$, zielona amplitudę $2$ i okres $3\pi$, a niebieska amplitudę $\frac12$ i okres $\pi$.

Zera mają postać:

$$f:\ x=\frac{3\pi}{4}+\frac{3k\pi}{2},\quad g:\ x=\frac\pi4+\frac{k\pi}{2},\quad h:\ x=\pi+2k\pi.$$

Zliczamy tylko argumenty z $(10\pi;15\pi)$.

Odbicie wykresu $y=f(x)$ względem prostej $y=-1$ przekształca każdą rzędną na $-2-f(x)$. Zatem

$$g(x)=-2-\left(1{,}5\cos(2x-\frac\pi2)+3\right) =-1{,}5\sin2x-5.$$

a) Równanie upraszcza się do

$$3\cos2x+\cos\frac{x}{2}=0.$$

Po podstawieniu $t=\cos\frac{x}{2}$ otrzymujemy $24t^4-24t^2+t+3=0$. Wielomian ma cztery pierwiastki w $(-1,1)$; każdemu odpowiadają dwa argumenty w $[-2\pi,2\pi]$.

b) Niech $t=\operatorname{tg}\frac{x}{2}$. Wspólna dziedzina wyklucza zera i asymptoty obu funkcji, a równanie przyjmuje postać

$$2t^2-6t+3=0.$$

Ma dwa dodatnie pierwiastki, z których każdy jest przyjmowany dwa razy w zadanym przedziale.

a) Jeżeli $\sin4x=1$, to $4x=\frac\pi2+2k\pi$, więc $2x=\frac\pi4+k\pi$ i $\operatorname{ctg}2x=1$. Stąd

$$g(x)=\frac{2\cdot1}{1+1}=1.$$

b) Jeżeli $\cos4x=1$, to $4x=2k\pi$, zatem $2x=k\pi$ i $\operatorname{tg}2x=0$. Wtedy

$$g(x)=\frac{1-0}{1+0}=1.$$