MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 35

Dla $\sin(bx)$ i $\cos(bx)$ okres podstawowy wynosi $\frac{2\pi}{|b|}$. Zera spełniają odpowiednio $bx=k\pi$ oraz $bx=\frac\pi2+k\pi$. Stały mnożnik przed funkcją nie zmienia miejsc zerowych ani okresu.

Przesunięcie fazowe nie zmienia okresu ani zbioru wartości. Okres obliczamy z modułu współczynnika przy $x$, a zbiór wartości z amplitudy.

a) $\operatorname{tg}4x=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $4x=k\pi$.

b) $\operatorname{tg}\frac{x}{4}=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x=4k\pi$.

c) Cotangens zeruje się dla argumentu $\frac\pi2+k\pi$, więc

W każdym przypadku wybieramy tylko wartości z $(-\pi;\pi)$.

Podstawiamy wskazane argumenty.

a) $\sin(\frac\pi2)=1$, więc $1+a=-1$.

b) $\sin(-\frac{11\pi}{2})=1$, więc $1+a=1{,}5$.

c) $\sin(-\frac{5\pi}{2})=-1$, więc $1-a=2{,}5$.

d) $\sin(-\frac{3\pi}{2})=1$, a odległość od osi $OX$ daje $|1+a|=2$.

Mamy $f(x)=-\frac12\sin3x-2$.

a) Po przesunięciu wykresu w prawo o $p$ nowa funkcja ma wzór $f(x-p)$. Najmniejsze dodatnie $p$, dla którego część sinusoidalna staje się funkcją parzystą, to $p=\frac\pi6$; wówczas $f(x-p)=\frac12\cos3x-2$.

b) Po przesunięciu pionowym otrzymujemy $f(x)+p$. Środek symetrii ma być w początku, więc usuwamy stałą $-2$, przyjmując $p=2$.