MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 34

a) Podstawienie argumentów daje

$$\frac{\sqrt3}{2}a=3-\frac12a,$$

więc $a=\frac6{\sqrt3+1}=3(\sqrt3-1)$.

b) Punkt symetryczny do $P$ względem osi $OX$ to $(\frac\pi3,-5)$, a $\sin(\frac\pi3+\frac\pi6)=1$.

c) Zbiór wartości ma długość $2|a|$.

d) Wartość najmniejsza wynosi $-|a|$.

Ponieważ $\sin(x-\pi)=\sin(x+\pi)=-\sin x$,

$$f(x)=-2\sin x+\frac12,\qquad g(x)=-5\sin x-1.$$

a) Z równania $f(x)=g(x)$ otrzymujemy $\sin x=-\frac12$.

b) W ogólnym przypadku

$$(b-a)\sin x=m-k.$$

Równanie ma rozwiązanie dokładnie wtedy, gdy prawa strona po podzieleniu przez $b-a$ należy do $[-1,1]$; przypadek $a=b$ uwzględnia ta sama nierówność.

Warunek $x+1\in D_f$ daje

$$D_g=(-\infty;-7\rangle\cup\langle-3;1\rangle\cup\langle5;+\infty).$$

Po podstawieniu $x+1$ otrzymujemy

$$g(x)= \begin{cases} \frac{x-1}{3}&x\leqslant-7,\\ \frac{|x+1|-7}{3}&-3\leqslant x\leqslant1,\\ -\frac{x}{3}-1&x\geqslant5. \end{cases}$$

Zbiór wartości $f$ to $(-\infty;1\rangle\cup\langle2;4\rangle$; skalujemy go przez $\frac13$ i przesuwamy o $-3$.

Ponieważ $m^2+1>0$, równanie ma postać

$$\cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=q(m),\qquad q(m)=\frac{2m+1}{m^2+1}.$$

Dla $x\in\langle0;\pi\rangle$ argument cosinusa należy do $\langle\frac{2\pi}{3};\frac{5\pi}{3}\rangle$. Na tym przedziale są dwa przecięcia dla $-1<q\leqslant-\frac12$, jedno dla $-\frac12<q\leqslant\frac12$ i zero dla $q>\frac12$ (wartość $q=-1$ nie występuje).

Równania graniczne $q=-\frac12$ i $q=\frac12$ dają odpowiednio $m\in\{-3,-1\}$ oraz $m=2\pm\sqrt5$.

W każdym podpunkcie porównujemy wykresy lewej i prawej strony.

a) Funkcja $-\frac12\cos x-x$ jest ściśle malejąca, więc ma jedno zero. Znaki na końcach dają nawet dokładniejsze oszacowanie $x\in(-\frac\pi6;-\frac\pi8)$.

b) Funkcja $\frac32\sin x-2x+\frac\pi2$ jest ściśle malejąca; zmienia znak między $\frac\pi3$ i $\frac\pi2$.

c) Warunek $2\sin x-1\geqslant0$ ogranicza rozwiązania do środkowego dodatniego łuku sinusa. Jednym rozwiązaniem jest $\frac\pi6$, a drugie leży między $\frac\pi3$ i $\frac\pi2$.