MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 33

Korzystamy z równości

Stąd

Wprowadzamy $t=x-2$. Każdy fragment dziedziny funkcji $f(t)$ przesuwa się o $2$ w prawo, a wartości przekształcamy wzorem $-2f(t)+3$.

Dla $t\in\langle-6;-3\rangle$ mamy $x\in\langle-4;-1\rangle$ i $g=-2(x+5)+3$. Dla $t=-1$ jest $x=1$. Dla $t\in\langle1;4\rangle$ mamy $x\in\langle3;6\rangle$ i $g=-2(x-3)+3$.

Funkcja $f$ jest nieujemna. Jej zera mają postać $x=4k$, a wartość $4$ jest przyjmowana dla $x=2+4k$.

a) $g(x)=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $f(x)=4$.

b) $g(x)=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $f(x-1)=0$.

c) Równanie wymagałoby $f(x+1)=-\frac32$, co jest niemożliwe.

Ze skanu strony zadania odczytujemy wierzchołki łamanej $f$: $(-1,2)$, $(1,3)$, $(2,1)$, $(3,1)$.

a) Przesuwamy argumenty o $1$ w lewo i przekształcamy rzędne przez $y\mapsto3-2y$.

b) Stosujemy $x\mapsto2-x$ i $y\mapsto3y-4$.

c) Stosujemy $x\mapsto1-x$ i $y\mapsto-2y+2$.

Rysujemy obie strony każdego równania na ich wspólnej dziedzinie i liczymy przecięcia oddzielnie między asymptotami. Kontrolne przybliżenia odciętych przecięć (podane jako wielokrotności $\pi$) wynoszą:

a) $0{,}433$ i $0{,}873$;

b) $0$, $0{,}282$ i $0{,}660$;

c) $0{,}194$ i $0{,}722$;

d) $0{,}722$.

Żaden punkt asymptoty nie jest rozwiązaniem.

Na pierwszym fragmencie $\frac12\cos x+2$ ma minimum $\frac32$ dla $x=-\pi$ i maksimum $\frac52$ dla $x=0$. Na drugim fragmencie $2\sin x$ osiąga maksimum $2$ dla $x=\frac\pi2$ oraz minimum $-2$ dla $x=\frac{3\pi}{2}$. Porównujemy ekstrema obu części.

Odbicie wykresu $y=g(x)$ względem prostej $y=2$ ma wzór $y=4-g(x)$. Ponieważ $\sin(x+\frac\pi2)=\cos x$,

a) Używamy $\cos(x+\pi)=-\cos x$ i $\cos\pi=-1$:

b) Mamy $\operatorname{tg}(x+\frac{3\pi}{4})=\operatorname{tg}(x-\frac\pi4)$, $\operatorname{ctg}(x-\frac{3\pi}{4})=\operatorname{ctg}(x+\frac\pi4)$ oraz

Po zebraniu wyrazów otrzymujemy prostą postać funkcji.