MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 32

Ze skanu strony odczytujemy amplitudy i kolory krzywych. Czerwony wykres ma maksimum $2$ dla $x=0$, więc odpowiada $a\cos x$ i $a=2$. Zielona krzywa osiąga $-\frac12$ dla $x=\frac\pi6$, zatem $b=-\frac12$. Niebieska krzywa osiąga maksimum $\frac32$ dla $x=\frac\pi3$, więc $c=\frac32$.

Korzystamy z okresu tangensa:

a) $f(x)=0$ daje $\operatorname{tg}(x-\frac\pi4)=1$.

b) $f(x)=-4$ daje $\operatorname{tg}(x-\frac\pi4)=-1$.

c) Dodatnie wartości odpowiadają części każdej gałęzi po zerze i przed prawą asymptotą.

Funkcja jest rosnąca na każdej gałęzi, ponieważ

Jej zera spełniają $\operatorname{ctg}(\frac\pi4-x)=-1$. Na każdej gałęzi wartości ujemne leżą między lewą asymptotą a zerem.

Podstawiamy $\operatorname{tg}\frac\pi4=1$, $\operatorname{tg}\frac\pi6=\frac1{\sqrt3}$ i $\operatorname{tg}\frac\pi3=\sqrt3$.

W podpunkcie c) odległość od osi $OX$ jest równa wartości bezwzględnej rzędnej:

W podpunktach a) i b) podstawiamy odpowiednio $\cos\frac\pi3=\frac12$ i $\cos\frac\pi4=\frac{\sqrt2}{2}$. Zbiorem wartości funkcji $a\cos x$ jest $\langle-|a|;|a|\rangle$, więc zarówno długość przedziału, jak i wartość największa zależą od $|a|$.

Dla każdego punktu $(x_0,y_0)$ rozwiązujemy

Kolejne argumenty tangensa upraszczają się do $\frac{5\pi}{4}$, $\frac\pi6$, $\frac\pi4$ i $\frac\pi3$.