MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 31

Mnożenie sinusa lub cosinusa przez liczbę zmienia amplitudę, przesunięcie argumentu przesuwa wykres poziomo, a składnik spoza funkcji — pionowo.

Miejsca zerowe wyznaczamy z równań $sin u=0$ albo $cos u=0$; zbiory wartości otrzymujemy z nierówności $-1\leqslant\sin u,\cos u\leqslant1$.

a) Zachodzi

$$\sin\left(x+\frac\pi4\right)=\cos\left(x-\frac\pi4\right).$$

Równanie przecięcia sprowadza się więc do

$$\frac12t-1=-2t+\frac12,\qquad t=\cos\left(x-\frac\pi4\right),$$

czyli $t=\frac35$. Na przedziale długości $4\pi$ otrzymujemy cztery rozwiązania.

b) Korzystamy z $\operatorname{tg}(x-\frac\pi2)=-\operatorname{ctg}x$ i podstawiamy $t=\operatorname{tg}x$. Po przekształceniu

$$5t^2+3t-4=0,$$

które ma dwa różne dopuszczalne pierwiastki. Każdej wartości tangensa odpowiadają cztery argumenty w zadanym przedziale.

Podstawiamy wskazany argument i wartość funkcji.

a) $a\operatorname{ctg}\frac{3\pi}{4}=1$, zatem $-a=1$.

b) $a\operatorname{ctg}(-\frac\pi3)=-\sqrt3$, więc $-\frac{a}{\sqrt3}=-\sqrt3$.

c) $a\operatorname{ctg}\frac\pi4=-2$, więc $a=-2$.

Rozpisujemy $|x|$ osobno po obu stronach zera. Otrzymujemy

$$f(x)= \begin{cases} x+8&x<-4,\\ -x&-4\leqslant x<0,\\ x&0\leqslant x<1,\\ -x+2&x\geqslant1. \end{cases}$$

Wykres $g$ powstaje przez dwukrotne spłaszczenie pionowe, a wykres $h$ przez dwukrotne rozciągnięcie pionowe i odbicie względem osi $OX$.

Równanie $f(x)=0$ jest równoważne $\sin(x-\frac\pi6)=-\frac12$. Po ograniczeniu do $[-\pi,\pi]$ dostajemy $x=-\frac{2\pi}{3}$ i $x=0$.

Punkty zwrotne wykresu w tym przedziale mają odcięte $-\frac\pi3$ i $\frac{2\pi}{3}$. Znak funkcji odczytujemy między jej miejscami zerowymi.

Ponieważ cosinus jest parzysty,

$$f(x)=-2\cos\left(x-\frac\pi3\right).$$

Stąd $f(D)=\langle-2;2\rangle$. Punkty zwrotne w zadanym przedziale mają odcięte $-\frac{2\pi}{3}$ i $\frac\pi3$. Warunek $f(x)\leqslant0$ jest równoważny $\cos(x-\frac\pi3)\geqslant0$.