MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 30

Rozpatrujemy osobno trzy części wykresu.

Na $(-\frac\pi2;\frac\pi4)$ tangens jest rosnący i ma zbiór wartości $(-\infty;1)$. Na $(\frac{5\pi}{4};2\pi)$ cotangens jest malejący i również ma zbiór wartości $(-\infty;1)$.

W części środkowej argument cosinusa przebiega $\langle\frac\pi2;\frac{3\pi}{2}\rangle$, więc wartości należą do $\langle0;1\rangle$: dla $k=0$ jest jedno rozwiązanie, dla $0<k<1$ dwa, a dla $k=1$ dwa rozwiązania na końcach.

Sumując liczby przecięć prostej $y=k$ z trzema częściami wykresu, otrzymujemy wymagany podział.

Dla każdego $x$ pionowa odległość między wykresami jest stała:

$$g(x)-f(x)=(5-\sin x)-(-\sin x)=5.$$

Przedział od $-6\pi$ do $2\pi$ ma długość $8\pi$. Pole figury jest więc polem prostokąta o podstawie $8\pi$ i wysokości $5$:

$$P=8\pi\cdot5=40\pi.$$

Niech $\vec w=[a,b]$. Po przesunięciu zbiór wartości $\langle-1;1\rangle$ zmienia się w $\langle-1+b;1+b\rangle$. Z warunku $\langle\frac12;\frac52\rangle$ dostajemy $b=\frac32$.

Ponadto

$$g(\pi)=\sin(\pi-a)+\frac32=\frac{3-\sqrt3}{2},$$

więc $\sin a=-\frac{\sqrt3}{2}$. Argument $\pi$ musi należeć do przesuniętej dziedziny $\langle a-\frac{2\pi}{3};a+\frac{4\pi}{3}\rangle$, zatem $a\in\langle-\frac\pi3;\frac{5\pi}{3}\rangle$. W tym przedziale warunek spełniają trzy wartości.

Suma kwadratów jest równa zeru tylko wtedy, gdy oba składniki są zerami:

$$\begin{cases} y=\sin x,\\ y=\cos x. \end{cases}$$

Stąd $\sin x=\cos x$, czyli $x=\frac\pi4+k\pi$. Dla parzystego $k$ wspólna wartość wynosi $\frac{\sqrt2}{2}$, a dla nieparzystego $-\frac{\sqrt2}{2}$.

a) Wystarczy przesunąć sinusoidę pionowo poza poziom $0$. Na przykład dla $a=0$ i $b=2$ mamy $f(x)=\sin x+2\ge1$, więc miejsc zerowych nie ma.

b) Funkcja ma być malejąca na przedziale długości $\pi$. Wymaga to

$$\cos(x-a)\le0$$

dla każdego $x\in\langle-\frac\pi2;\frac\pi2\rangle$. Przedział argumentów $x-a$ musi więc pokrywać się z przedziałem $\langle\frac\pi2+2k\pi;\frac{3\pi}{2}+2k\pi\rangle$. Stąd $a=-\pi+2k\pi$, natomiast $b$ nie wpływa na monotoniczność.

Oznaczmy $c=k^2-1$. Po przesunięciu argumentu $u=x+\frac\pi6$ przebiega przedział $\langle-\frac{5\pi}{6};\frac{7\pi}{6}\rangle$.

Jeśli $c\notin\langle-1;1\rangle$, rozwiązań nie ma. Dla $c=-1$ i $c=1$ jest po jednym rozwiązaniu. Zwykle poziom $y=c$ przecina sinusoidę dwukrotnie, ale dla $c=-\frac12$ przechodzi także przez oba końce przedziału i daje trzy rozwiązania.

Warunki $c=-1$, $c=1$ i $c=-\frac12$ odpowiadają kolejno $k=0$, $k=\pm\sqrt2$ i $k=\pm\frac{\sqrt2}{2}$.

Argument cosinusa przebiega przedział $\langle-m;\pi-m\rangle$.

Dla $-\frac\pi2<m\le0$ przedział zawiera $\pi$, więc najmniejsza wartość cosinusa to $-1$, a największa to $\cos(-m)=\cos m$. Zatem dla $2-\cos(x-m)$ maksimum wynosi $3$, a minimum $2-\cos m$.

Dla $0<m<\frac\pi2$ przedział zawiera $0$, więc największa wartość cosinusa to $1$, a najmniejsza to $\cos(\pi-m)=-\cos m$. Odpowiednie ekstremalne wartości funkcji wynoszą $1$ oraz $2+\cos m$.