MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 29

W pierwszej części przedziału

$$\cos\left(x+\frac{3\pi}{2}\right)=\sin x.$$

W drugiej części

$$\cos\left(x-\frac{5\pi}{2}\right)=\cos\left(x-\frac\pi2\right)=\sin x.$$

Oba wzory zgadzają się także w punkcie podziału. Ponieważ $\sin x$ ma okres podstawowy $2\pi$, okresowe przedłużenie funkcji jest po prostu sinusem.

Najpierw upraszczamy

$$f(x)=-\sin\left(x-\frac{5\pi}{2}\right)=\cos x.$$

Asymptoty funkcji $g$ spełniają

$$x-\frac{13\pi}{6}=\frac\pi2+k\pi,$$

czyli $x=\frac{2\pi}{3}+k\pi$. Dla parzystego i nieparzystego $k$ wartości cosinusa są odpowiednio $-\frac12$ i $\frac12$.

a) Przesuńmy wykres sinusa o wektor $[0,1]$. Otrzymujemy $h(x)=\sin x+1$, którego zera to minima sinusa:

$$x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi.$$

Każde dwa sąsiednie zera różnią się o $2\pi$.

b) Przesuńmy wykres cosinusa o wektor $[0,-\frac{\sqrt3}{2}]$. Zera funkcji $p(x)=\cos x-\frac{\sqrt3}{2}$ mają postać

$$x=2k\pi\pm\frac\pi6.$$

Zera $-\frac\pi6$ i $\frac\pi6$ różnią się o $\frac\pi3$, natomiast $\frac\pi6$ i $-\frac\pi6+4\pi$ różnią się o $\frac{11\pi}{3}$.

a) $\sin(x-\frac\pi6)=\frac12$ daje $x-\frac\pi6=\frac\pi6+2k\pi$ lub $\frac{5\pi}{6}+2k\pi$.

b) $\cos(x+\frac\pi3)=-1$ dla $x+\frac\pi3=\pi+2k\pi$.

c) Równanie upraszcza się do $\operatorname{tg}(x-\frac\pi4)=1$.

d) Cotangens jest równy $1$ dla argumentów $\frac\pi4+k\pi$.

Dla przesunięcia o wektor $[a,b]$ nowa funkcja ma postać $f(x-a)+b$. Sprowadzamy sinus i cosinus do tej samej postaci fazowej, a następnie porównujemy fazę i przesunięcie pionowe.

a) $\sin(x+\frac{99\pi}{4})=\sin(x+\frac{3\pi}{4})$, a $\cos x=\sin(x+\frac\pi2)$, więc $a=\frac\pi4$, $b=9$.

b) $\sin(x-\frac{22\pi}{5})=\cos(x-\frac{9\pi}{10})$, więc $a=\frac{9\pi}{10}$, $b=-5$.

c) Funkcja docelowa ma równoważną fazę $\sin(x+\frac\pi{12})$, więc $a=\frac\pi3$, $b=-3$.

d) Po redukcji faz otrzymujemy $a=\frac\pi8$, $b=5$.

a) Tożsamość $\sin(x-a)=\sin(x+a)$ dla każdego $x$ wymaga $\sin a=0$, zatem $a=k\pi$.

b) Z różnicy cosinusów

$$\cos(x-a)-\cos(x+a)=2\sin x\sin a$$

wynika ten sam warunek $a=k\pi$.

c) Cotangens ma okres $\pi$. Argumenty $x-a$ i $x+a$ muszą różnić się o całkowitą wielokrotność $\pi$, więc $2a=k\pi$.

Ponieważ $34\pi=17\cdot2\pi$,

$$f(x)=\sin x-\frac12.$$

Miejsca zerowe mają postać $x=\frac\pi6+2k\pi$ lub $x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$. Dla $k=15$ obie wartości są mniejsze od $100$, natomiast dla $k=16$ mniejsza z nich wynosi

$$\frac\pi6+32\pi=\frac{193\pi}{6}>100.$$