MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 294

Niech $d$ i $c$ oznaczają liczby dziewcząt i chłopców. Z warunku wspólnej średniej:

\iff 164d+178c=172d+172c \iff 8d=6c.$$ Stąd $d:c=6:8=3:4$.

Niech $n$ oznacza liczbę uczniów. Dwójkę otrzymało $n-0{,}2n-0{,}4n-9=0{,}4n-9$ osób. Równanie średniej ma postać

$\frac{5\cdot0{,}2n+4\cdot0{,}4n+3\cdot9+2(0{,}4n-9)}n=3{,}7.$

Po uproszczeniu $3{,}4n+9=3{,}7n$, więc $n=30$. Oceny większe od średniej to czwórki i piątki, które otrzymało $0{,}6\cdot30=18$ osób.

Suma dziesięciu liczb wynosi $80$. Stałe składniki sumują się do $62$, więc $62+2x=80$ i $x=9$. Po uporządkowaniu zestaw ma postać

$4,5,7,7,8,9,9,9,9,13.$

Mediana to średnia piątego i szóstego elementu, czyli $\frac{8+9}{2}=8{,}5$.

Warunek średniej daje

$x+y+5+9+7+8+1+2=40,$

czyli $x+y=8$. Aby liczba $2$ była dominantą, jedna z liczb $x,y$ musi być równa $2$, a druga $6$. Ponieważ $y>x$, mamy $x=2$, $y=6$, więc $y-x=4$.

Niech $p$ będzie odsetkiem odpowiedzi „2 książki”. Dla danych przyjmujących dwie wartości odległe o $1$ wariancja wynosi $p(1-p)$. Warunek $p(1-p)=\frac14$ daje

$\left(p-\frac12\right)^2=0,$

więc $p=\frac12$. Średnia wynosi $1\cdot\frac12+2\cdot\frac12=1{,}5$.

Wynik odpowiadający $75$. centylowi dzieli uporządkowaną grupę tak, że $75\%$ wyników nie przekracza wyniku Ilony, a $25\%$ jest od niego lepszych. Zatem

$0{,}25\cdot40=10.$

Średnia zestawu wynosi $48/8=6$. Suma kwadratów odchyleń od średniej jest równa $18$, więc

$\sigma=\sqrt{\frac{18}{8}}=\frac32.$

Badany przedział to $[4{,}5,7{,}5]$. Należą do niego trzy piątki, jedna szóstka i dwie siódemki, łącznie $6$ liczb.

Dla wag $X$ średnia wynosi

$\frac{5\cdot0{,}2+10\cdot1{,}2+15\cdot0{,}6}{0{,}2+1{,}2+0{,}6}=11.$

Zatem dla wag $Y$ musi zachodzić

$\frac{5\cdot0{,}1+10w+15\cdot1}{0{,}1+w+1}=11.$

Po rozwiązaniu $15{,}5+10w=12{,}1+11w$, czyli $w=3{,}4$.

Niech $S=x+y$. Średnia ważona jest równa

$\frac{3x+5\cdot6+4\cdot9+3y}{15}=\frac{3S+66}{15}=\frac{S+22}{5},$

a średnia arytmetyczna liczb $x,y$ wynosi $S/2$. Z równania

$\frac{S+22}{5}=\frac S2$

otrzymujemy $S=\frac{44}{3}$, zatem wspólna średnia jest równa $\frac S2=\frac{22}{3}=7\frac13$.