MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 293

Dodanie tej samej liczby do wszystkich danych zwiększa średnią o tę liczbę, ale nie zmienia odchyleń od średniej. Zatem w a) średnia wynosi $110$, a odchylenie standardowe nadal $50$.

Zwiększenie każdej liczby o $10\%$ oznacza pomnożenie całego zestawu przez $1{,}1$. Zarówno średnia, jak i odchylenie standardowe mnożą się przez $1{,}1$, więc w b) wynoszą odpowiednio $110$ i $55$.

Obliczamy średnie i wariancje ze wzoru $\sigma^2=\overline{x^2}-(\bar x)^2$:

&\bar x&\sigma^2\\ \hline A&3&2\\ B&11&\frac{374}{5}=74{,}8\\ C&45&2078 \end{array}$$ Dla A mamy $\sigma=\sqrt2<3$, dla B $\sigma=\sqrt{74{,}8}<11$, natomiast dla C $\sigma=\sqrt{2078}\approx45{,}59>45$.

Średnia całej grupy to

$\bar x=\frac{20\cdot160+30\cdot180}{50}=172\ \text{cm}.$

Dla podgrupy zachodzi $\overline{x^2}=\sigma^2+(\bar x)^2$. Zatem średnia kwadratów wzrostu całej grupy wynosi

$\frac{20(2^2+160^2)+30(5^2+180^2)}{50}=29696{,}6.$

Wariancja całej grupy jest więc równa $29696{,}6-172^2=112{,}6$, a odchylenie $\sqrt{112{,}6}\approx10{,}61$ cm, czyli po zaokrągleniu $11$ cm.

Czasy przejazdu pełnią rolę wag. Cała trasa ma długość

$80\cdot1{,}5+65\cdot1+50\cdot0{,}5=210\ \text{km},$

a łączny czas przejazdu wynosi $1{,}5+1+0{,}5=3$ godziny. Stąd

$v_{\mathrm{śr}}=\frac{210}{3}=70\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}.$

Waga jest dodatnia, więc $x>0$, a mianownik $16+x$ jest dodatni. Warunek ma postać

$4\le\frac{60+8x}{16+x}\le6.$

Lewa nierówność daje $60+8x\ge64+4x$, czyli $x\ge1$. Prawa daje $60+8x\le96+6x$, czyli $x\le18$. Oba końce spełniają warunek.

Średnie kategorii Agaty wynoszą kolejno $3,4,5,3$. Jej średnia ważona to

$\frac{4\cdot3+2\cdot4+1\cdot5+3\cdot3}{4+2+1+3}=3{,}4,$

co po zaokrągleniu daje ocenę $3$.

Średnie kategorii Tytusa to $4,3,2,5$. Zatem

$\frac{4\cdot4+2\cdot3+1\cdot2+3\cdot5}{10}=3{,}9,$

co po zaokrągleniu daje ocenę $4$.