MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 295

Ciąg jest już zapisany w kolejności niemalejącej, więc jego mediana jest średnią trzeciego i czwartego wyrazu:

$\frac{2x+(x+2)}2=4.$

Stąd $3x+2=8$, czyli $x=2$. Otrzymany ciąg $(1,2,4,4,5,6)$ rzeczywiście jest niemalejący.

Drugi zestaw po uporządkowaniu ma postać $2,3,5,6,8$, więc jego mediana wynosi $5$. W pierwszym, już rosnącym zestawie $2,3,a,8$ mediana jest równa $\frac{3+a}{2}$. Zatem

$\frac{3+a}{2}=5,$

skąd $a=7$.

Bez liczby $a$ uporządkowane dane to $4,8,16,21,25$. Aby mediana sześciu liczb była równa $14$, suma trzeciej i czwartej liczby musi wynosić $28$. Sprawdzamy położenie $a$: wartość $a=12$ daje uporządkowany zestaw

$4,8,12,16,21,25,$

którego mediana wynosi $(12+16)/2=14$. Pozostałe odpowiedzi nie spełniają tego warunku.

Średnia zestawu jest równa $3$. Każda z $m$ liczb $2$ różni się od średniej o $-1$, a każda z $m$ liczb $4$ o $1$. Wariancja wynosi więc

$\sigma^2=\frac{m\cdot(-1)^2+m\cdot1^2}{2m}=1,$

zatem $\sigma=1$.

Łącznie jest $16$ ocen. Po uporządkowaniu rosnąco: jedna dwójka zajmuje pierwsze miejsce, pięć trójek miejsca 2–6, a pięć czwórek miejsca 7–11. Ósma i dziewiąta ocena są więc równe $4$, zatem mediana wynosi $4$.

Suma siedmiu znanych liczb wynosi $3+5+7+9+15+17+19=75$. Warunek średniej $11$ daje

$\frac{75+x}{8}=11,$

czyli $75+x=88$ i $x=13$.

Z warunku średniej otrzymujemy

$\frac{31+16+25+29+27+x}{6}=\frac x2.$

Ponieważ suma stałych wynosi $128$, mamy $128+x=3x$, więc $x=64$. Uporządkowany zestaw to $16,25,27,29,31,64$, a jego mediana wynosi

$\frac{27+29}{2}=28.$