MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 292

W każdym podpunkcie zapisujemy równanie „suma liczb podzielona przez ich liczbę jest równa $\frac x2$”.

a) Stałe sumują się do $3$, więc $\frac{3+x}{5}=\frac x2$, skąd $x=2$.

b) Pierwiastki się redukują: $\frac{4+x}{3}=\frac x2$, zatem $x=8$.

c) Suma wynosi $6+3x$, więc $\frac{6+3x}{5}=\frac x2$, a stąd $x=-12$.

Niech dziewięć kolejnych liczb ma postać $n,n+1,\ldots,n+8$, a wykreślona liczba będzie równa $r$. Suma pełnego zestawu wynosi $9n+36$, natomiast suma ośmiu pozostałych to $8\cdot10{,}25=82$. Zatem

$r=9n+36-82=9n-46.$

Warunek $n\le r\le n+8$ prowadzi do $6\le n\le6$, więc $n=6$ i $r=8$.

Oznaczmy

$A=u+w+x+y,\qquad B=w+x+y+z,\qquad S=w+x+y.$

Z danych wynika $A\in[16,28]$, $B\in[24,36]$ oraz $S\in[15,24]$. Suma wszystkich pięciu liczb jest równa

$u+w+x+y+z=A+B-S.$

Najmniejszą wartość otrzymujemy dla $A=16$, $B=24$, $S=24$, a największą dla $A=28$, $B=36$, $S=15$. Wszystkie te wybory są osiągalne, bo można przyjąć $u=A-S$ i $z=B-S$. Zatem

$16\le A+B-S\le49,$

a średnia pięciu liczb należy dokładnie do przedziału $\left[\frac{16}{5},\frac{49}{5}\right]$.

Do $38$. centyla należy $38\%$ wyników nie większych niż $17$, a do $41$. centyla — $41\%$ wyników nie większych niż $21$. Wyniki z przedziału $(17,21]$ stanowią więc $41\%-38\%=3\%$ grupy. Stąd

$0{,}03\cdot1500=45.$

Z diagramu odczytujemy liczebności $1,6,8,9,4,2$ dla wyników od $0$ do $5$. Suma punktów wynosi

$0\cdot1+1\cdot6+2\cdot8+3\cdot9+4\cdot4+5\cdot2=75,$

więc średnia to $75/30=2{,}5$. Piętnasty uporządkowany wynik jest równy $2$, a szesnasty $3$, zatem mediana wynosi $2{,}5$. Najczęściej, bo dziewięć razy, występuje wynik $3$.

Dla zestawów I–IV otrzymujemy odpowiednio:

&\bar x&M&D\\ \hline I&\frac{49}{8}=6{,}125&5{,}5&6\\ II&\frac{35}{8}=4{,}375&2{,}5&2\\ III&\frac{44}{8}=5{,}5&6&7\\ IV&\frac{50}{8}=6{,}25&6&5 \end{array}$$ Największą średnią ma IV, najmniejszą medianę II, a największą dominantę III. Zestawem pozostałym jest I.

Początkowa średnia i mediana wynoszą $12$, a dominanta $7$. Po dopisaniu dwóch liczb średnia nadal ma być równa $12$, więc suma dopisanych liczb musi wynosić

$7\cdot12-(7+7+12+14+20)=84-60=24.$

Nowa dominanta ma być o $5$ większa, czyli równa $12$. Aby liczba $12$ występowała częściej niż dwie siódemki, obie dopisane liczby muszą być równe $12$. Spełniają też warunek sumy i zachowują medianę.