MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 291

Początkowa średnia ważona wynosi

=\frac{210}{15}=14.$$ Średnia ważona zmienia się tak samo jak wszystkie dane: po podwojeniu każdej liczby podwaja się, po dodaniu $3$ wzrasta o $3$, a po zwiększeniu każdej liczby o $10\%$ zostaje pomnożona przez $1{,}1$.

Dla każdej osoby średnia ma postać $p+\frac{x}{10}(m-p)$, gdzie $p$ i $m$ są ocenami z polskiego i matematyki. Warunek wyniku większego od $4$ spełniają:

\text{kandydat}&\text{dopuszczalne }x\\ \hline K1,K2,K7&\varnothing\\ K3&6,7,8,9\\ K4&1,2,3,4\\ K5&1,2,3,4,5,6\\ K6&4,5,6,7,8,9\\ K8&1,2,3,4,5,6,7,8,9 \end{array}$$ Dokładnie cztery osoby przekraczają próg dla $x=4$ (K4, K5, K6, K8) oraz dla $x=6$ (K3, K5, K6, K8).

Porównujemy

$\bar x=\frac{a+b}{2},\qquad \bar s=\frac{wa+vb}{w+v}.$

Ich różnica jest równa

=\frac{2wa+2vb-(w+v)(a+b)}{2(w+v)} =\frac{(v-w)(b-a)}{2(w+v)}.$$ Ponieważ $v>w$, $b>a$ i wagi są dodatnie, różnica jest dodatnia.

Wśród liczb od $1$ do $100$ jest po $50$ liczb parzystych i nieparzystych. Suma liczb parzystych wynosi $2550$, a nieparzystych $2500$. Stąd

{50\cdot0{,}3+50\cdot0{,}7} =\frac{2515}{50}=50{,}3.$$

Średnia ważona punktów ma postać

=\frac{530+10n}{100+n}.$$ Dla naturalnego $n$ mianownik jest dodatni. Warunek przejścia daje $$\frac{530+10n}{100+n}\ge7 \iff 530+10n\ge700+7n \iff n\ge\frac{170}{3}.$$ Najmniejszą liczbą naturalną spełniającą warunek jest $57$.

Średnia i średnia kwadratów ocen z drugiego semestru wynoszą

$\bar x=\frac{c+14}{5},\qquad \overline{x^2}=\frac{c^2+50}{5}.$

Z warunku wariancji

$\frac{c^2+50}{5}-\left(\frac{c+14}{5}\right)^2=1{,}2$

otrzymujemy $(c-1)(c-6)=0$. Dla $c=1$ średnia wynosiłaby $3$, nie byłaby więc wyższa od średniej z pierwszego semestru. Stąd $c=6$, a średnia drugiego semestru to $4$.

Ocena końcowa przed zaokrągleniem wynosi $0{,}4\cdot3+0{,}6\cdot4=3{,}6$, zatem po zaokrągleniu jest równa $4$.