MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 290

Po pomnożeniu każdej średniej przez sumę wag $9$ otrzymujemy

$2x+3y+4z=46,$ $3x+4y+2z=\frac{81}{2},$ $4x+2y+3z=\frac{79}{2}.$

Dodanie równań stronami daje $9x+9y+9z=126$, czyli $x+y+z=14$. Szukana średnia arytmetyczna wynosi

$\frac{x+y+z}{3}=\frac{14}{3}=4\frac23.$

Pierwsza dostawa waży $2000$ kg, a jej wartość to

$600\cdot2{,}50+900\cdot1{,}25+500\cdot0{,}75=3000\ \text{zł}.$

Średnia cena wynosiła więc $1{,}50$ zł/kg. Po obniżce była o $10\%$ niższa, czyli wynosiła $1{,}35$ zł/kg, a cała dostawa przyniosła $2700$ zł. Spadek przychodu to $300$ zł.

Obniżenie ceny o $20\%$ zmniejszyłoby wartość poszczególnych odmian o: $300$ zł dla królewskiej, $225$ zł dla cesarskiej i $75$ zł dla książęcej. Pasuje tylko pierwsza wartość.

Stosunek liczby obligacji może służyć jako zestaw wag. Zatem średnia stopa zwrotu wynosi

=\frac{43\%}{10}=4{,}3\%.$$

Dla pierwszego zawodnika średnia ważona ma postać

$\frac{6x+24y+123}{6x+4y+40}=\frac{48}{17},$

co po uproszczeniu daje $-62x+72y=-57$. Dla drugiego zawodnika

$\frac{4x+24y+178}{4x+4y+55}=\frac{28}{9},$

stąd $-38x+52y=-31$. Rozwiązanie układu tych dwóch równań to

$x=\frac32,\qquad y=\frac12.$

Z danych otrzymujemy

$\frac{1{,}5x+2{,}5y}{4}=18{,}5,\qquad \frac{x+y}{2}=18.$

Stąd $1{,}5x+2{,}5y=74$ oraz $x+y=36$. Po odjęciu $1{,}5(x+y)=54$ dostajemy $y=20$, a następnie $x=16$.

Po zamianie wag średnia wynosi

$\frac{2{,}5\cdot16+1{,}5\cdot20}{4}=\frac{70}{4}=17{,}5.$