MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 289

Pozostałe owoce stanowią $100\%-45\%-25\%=30\%$ zbiorów. Procenty mogą pełnić rolę wag, a ich suma wynosi $100\%$. Stąd

=5{,}4+2{,}5+2{,}4=10{,}3.$$

Z diagramu odczytujemy liczby wystąpień wyników $1,2,3,4,5,6$ równe $5,6,3,7,1,3$. Wagi przypisane pojedynczym wynikom to odpowiednio $6,5,4,3,2,1$. Łączna waga wszystkich rzutów wynosi

$5\cdot6+6\cdot5+3\cdot4+7\cdot3+1\cdot2+3\cdot1=98,$

a suma ważona wyników

+5\cdot1\cdot2+6\cdot3\cdot1=238.$$ Zatem $\bar x_w=\frac{238}{98}=\frac{17}{7}=2\frac37$.

W średniej ważonej każda zaobserwowana liczba oczek otrzymuje wagę z drugiego wiersza tabeli. Zatem

\frac{1\cdot4\cdot5+2\cdot3\cdot5+3\cdot1\cdot2+4\cdot5\cdot2 +5\cdot2\cdot6+6\cdot5\cdot6} {4\cdot5+3\cdot5+1\cdot2+5\cdot2+2\cdot6+5\cdot6} =\frac{336}{89}=3\frac{69}{89}.$$ Średnia arytmetyczna dwudziestu wyników wynosi $$\bar x=\frac{1\cdot4+2\cdot3+3\cdot1+4\cdot5+5\cdot2+6\cdot5}{20} =\frac{73}{20}=3\frac{13}{20}.$$ Ponieważ $\frac{336}{89}\approx3{,}78>3{,}65$, średnia ważona jest większa.

Łącznie jest $20$ ocen, a ich suma wynosi $1\cdot1+2\cdot2+3\cdot3+4\cdot6+5\cdot6+6\cdot2=80$, więc $\bar x=4$.

Jeśli każda z sześciu wartości oceny w każdym jej wystąpieniu ma wagę równą liczbie uczniów z tą oceną, w liczniku i mianowniku pojawiają się kwadraty liczebności:

{1^2+2^2+3^2+6^2+6^2+2^2} =\frac{384}{90}=4\frac4{15}.$$ Wagi procentowe są wszystkimi tymi wagami pomnożonymi przez $\frac1{20}$, co nie zmienia średniej ważonej.

Z definicji średniej ważonej otrzymujemy równanie

+9\cdot0{,}2\cdot6}{0{,}15\cdot4+0{,}25k+0{,}4\cdot3+0{,}2\cdot6} =5\frac{71}{85}.$$ Po uproszczeniu i rozwiązaniu równania dostajemy $k=5$. Zestaw ma wtedy $18$ elementów. Po uporządkowaniu pozycje 1–4 zajmują trójki, 5–9 czwórki, 10–12 szóstki, a 13–18 dziewiątki. Mediana jest więc średnią dziewiątego i dziesiątego elementu: $$M=\frac{4+6}{2}=5.$$

Niech $p$ i $q$ oznaczają procenty osób uczących się odpowiednio trzech i pięciu języków. Z diagramu wynika

$p+q=100\%-38\%-22\%=40\%.$

Warunek średniej równej $3$ daje, po zapisaniu procentów jako ułamków,

$2\cdot0{,}38+4\cdot0{,}22+3\frac p{100}+5\frac q{100}=3.$

Po podstawieniu $q=40-p$ otrzymujemy $p=32$, a następnie $q=8$.