MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 28

I. Przesunięcie o $\frac12$ w górę daje zbiór wartości $\langle-\frac12;\frac32\rangle$ — prawda.

II. Dla $x=(2k+1)\pi$ otrzymujemy $f(x)=\frac12-\frac{\sqrt2}{2}\ne0$ — fałsz.

III. $f(0)=\frac{\sqrt2}{2}+\frac12>1$ — prawda.

IV. Na $\langle0;\frac\pi4\rangle$ funkcja rośnie, więc nie jest malejąca na całym $\langle0;\pi\rangle$ — fałsz.

V. Osie cosinusa przesuniętego o $\frac\pi4$ mają równania $x=\frac\pi4+k\pi=\frac{4k+1}{4}\pi$ — prawda.

a) Korzystamy z $\cos(x+\frac{2\pi}{3})=\sin(-x-\frac\pi6)$. Równość sinusów daje $x=k\pi$, stąd trzy rozwiązania w przedziale.

b) Po zapisaniu $\operatorname{tg}(x+\frac\pi2)=-\operatorname{ctg}x$ różnica stron jest ściśle monotoniczna na każdym z przedziałów $(0;\pi)$ i $(\pi;2\pi)$ oraz zmienia znak od $-\infty$ do $+\infty$. Jest po jednym rozwiązaniu na gałąź.

c) Po podstawieniu $t=\operatorname{tg}x$ otrzymujemy

$$(2+\sqrt3)t^2+(4\sqrt3-1)t-2=0.$$

Równanie ma dwa różnoimienne pierwiastki, a każdy daje po dwa argumenty w $\langle0;2\pi\rangle$, czyli cztery rozwiązania.

d) Jak w b), funkcja $-\operatorname{ctg}x-4-\cos(x-\frac{5\pi}{6})$ jest rosnąca na każdej z dwóch gałęzi i przechodzi od $-\infty$ do $+\infty$.

Z odczytanego skanu strony wyznaczamy oś równowagi $y=k$ oraz odciętą maksimum, która ma postać $m+2n\pi$.

a) Wartości skrajne to $0$ i $2$, więc $k=1$. Maksimum występuje dla $x=\frac\pi3$, stąd $m=\frac\pi3$.

b) Wartości skrajne to $-\frac52$ i $-\frac12$, więc $k=-\frac32$. Maksimum ma odciętą $-\frac{2\pi}{3}$, zatem $m=-\frac{2\pi}{3}$.

c) Wartości skrajne to $-\frac12$ i $\frac32$, więc $k=\frac12$. Maksimum występuje dla $x=\frac\pi2$, stąd $m=\frac\pi2$.