MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 287

Grupy A i B stanowią po $40\%$ klasy, a C — $20\%$. Średnia całej klasy wynosi

$$\bar x=0{,}4\cdot3+0{,}4\cdot4+0{,}2\cdot6=4.$$

Średnia kwadratów wyniku jest równa

$$0{,}4(0{,}6^2+3^2)+0{,}4(0{,}8^2+4^2)+0{,}2(\sigma^2+6^2) =17{,}6+0{,}2\sigma^2.$$

Wariancja całej klasy to zatem $1{,}6+0{,}2\sigma^2$. Z równania $1{,}6+0{,}2\sigma^2=1{,}65$ otrzymujemy $\sigma^2=0{,}25$, czyli $\sigma=0{,}5$.

Niech $q$ oznacza część elementów równych $2$; część elementów równych $1$ wynosi $1-q$. Wtedy

$$\bar x=(1-q)\cdot1+q\cdot2=1+q$$

oraz średnia kwadratów wynosi

$$(1-q)\cdot1^2+q\cdot2^2=1+3q.$$

Zatem

$$\sigma^2=1+3q-(1+q)^2=q(1-q).$$

Ponieważ $q=\bar x-1$ i $1-q=2-\bar x$, otrzymujemy żądaną równość.

Niech $p$ będzie udziałem dziewcząt. Średnia całej klasy wynosi $\bar x=3p+4(1-p)=4-p$. Średnia kwadratów ocen jest równa

$$p(2^2+3^2)+(1-p)(1^2+4^2)=17-4p.$$

Stąd wariancja ma postać

$$17-4p-(4-p)^2=1+4p-p^2.$$

Warunek $1+4p-p^2=1{,}76$ daje $p^2-4p+0{,}76=0$, więc $p=0{,}2$ lub $p=3{,}8$. Druga wartość nie może być udziałem, zatem dziewczęta stanowią $20\%$ klasy, a średnia wynosi $4-0{,}2=3{,}8$.

a) Dodanie $200$ zł do każdego wynagrodzenia nie zmienia odchyleń od średniej, więc odchylenie standardowe pozostaje równe $500$ zł.

b) Podwyżka o $5\%$ mnoży wszystkie wynagrodzenia przez $1{,}05$, a więc odchylenie standardowe także przez $1{,}05$:

$$1{,}05\cdot500=525\text{ zł}.$$

Dla zestawu Y średnia wynosi

$$\bar y=\frac1n\sum_{i=1}^n(x_i+a)=\bar x+a.$$

Odchylenie elementu od nowej średniej jest równe $(x_i+a)-(\bar x+a)=x_i-\bar x$, więc wariancja i odchylenie standardowe się nie zmieniają: $\sigma_Y=\sigma$.

Dla zestawu Z

$$\bar z=\frac1n\sum_{i=1}^n ax_i=a\bar x.$$

Odchylenie ma postać $ax_i-a\bar x=a(x_i-\bar x)$. Jego kwadrat jest $a^2$ razy większy, zatem wariancja wynosi $a^2\sigma^2$, a odchylenie standardowe $|a|\sigma$.

Po podwyżkach średnie i odchylenia w oddziałach wynoszą odpowiednio:

$$(3150,210),\qquad(4200,420),\qquad(5500,550).$$

Udziały oddziałów to $0{,}5$, $0{,}3$ i $0{,}2$, więc nowa średnia całej firmy wynosi

$$\bar x=0{,}5\cdot3150+0{,}3\cdot4200+0{,}2\cdot5500=3935.$$

Średnia kwadratów zarobków jest równa

$$0{,}5(210^2+3150^2)+0{,}3(420^2+4200^2)+0{,}2(550^2+5500^2) =16\,438\,720.$$

Zatem

$$\sigma^2=16\,438\,720-3935^2=954\,495, \qquad \sigma\approx976{,}98\text{ zł}.$$