MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 286

Oznaczmy szukaną sumę kwadratów przez $K$. Ze wzoru na wariancję

$$4^2=\frac{K}{7}-9^2.$$

Zatem $\frac K7=97$, czyli $K=679$.

Niech środkowa z siedmiu kolejnych liczb całkowitych będzie równa $a$. Zestaw ma postać

$$a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,$$

a jego średnia wynosi $a$. Kwadraty odchyleń od średniej sumują się do

$$(-3)^2+(-2)^2+(-1)^2+0^2+1^2+2^2+3^2=28.$$

Wariancja jest więc równa $28:7=4$, a odchylenie standardowe $\sqrt4=2$.

a) Średnia ważona wynosi

$$\bar x=0{,}2\cdot25+0{,}25\cdot50+0{,}4\cdot75+0{,}15\cdot100 =62{,}5\text{ zł}.$$

Średnia kwadratów to

$$0{,}2\cdot25^2+0{,}25\cdot50^2+0{,}4\cdot75^2+0{,}15\cdot100^2=4500.$$

Zatem $\sigma^2=4500-62{,}5^2=593{,}75$ i $\sigma\approx24{,}37$ zł.

b) Jeśli $10\%$ kobiet zwiększy wydatek o $10$ zł, łączna suma w przeliczeniu na jedną osobę wzrośnie o $0{,}1\cdot10=1$ zł. Średnia wzrośnie więc do $63{,}5$ zł.

a) Suma $n+1$ liczb wynosi $n+t$, więc

$$\bar x_t=\frac{n+t}{n+1}.$$

Odchylenie każdej jedynki od średniej to $\frac{1-t}{n+1}$, a liczby $t$ — $\frac{n(t-1)}{n+1}$. Po zsumowaniu kwadratów i podzieleniu przez $n+1$ otrzymujemy

$$\sigma_t^2=\frac{n(t-1)^2}{(n+1)^2}, \qquad \sigma_t=\frac{\sqrt n}{n+1}|t-1|.$$

b) Dla $n=9$ mamy $f(t)=0{,}1t+0{,}9$ oraz $g(t)=0{,}3|t-1|$. Pierwszy wykres jest prostą, a drugi ma wierzchołek $(1,0)$.

c) Równanie $0{,}1t+0{,}9=0{,}3|t-1|$ rozpatrujemy dla $t\ge1$ i $t<1$. Daje ono odpowiednio $t=6$ i $t=-1{,}5$.

Załóżmy, że pięć liczb całkowitych ma sumę $S$ i sumę kwadratów $Q$. Ich wariancja ma postać

$$\sigma^2=\frac Q5-\left(\frac S5\right)^2 =\frac{5Q-S^2}{25}.$$

Gdyby $\sigma=0{,}9\sqrt2$, to $\sigma^2=\frac{81}{50}$. Równość

$$\frac{5Q-S^2}{25}=\frac{81}{50}$$

po pomnożeniu przez $50$ dawałaby $2(5Q-S^2)=81$. Lewa strona jest parzysta, a prawa nieparzysta — sprzeczność.

Średnia ważona zarobków wynosi

$$\bar x=0{,}2\cdot5000+0{,}8\cdot3000=3400\text{ zł}.$$

Dla grupy o średniej $m$ i wariancji $v$ średnia kwadratów wynosi $v+m^2$. Zatem dla całej firmy

$$E(X^2)=0{,}2(1000^2+5000^2)+0{,}8(200^2+3000^2) =12\,432\,000.$$

Stąd

$$\sigma^2=12\,432\,000-3400^2=872\,000, \qquad \sigma\approx933{,}81\text{ zł}.$$

Średnia całej klasy wynosi

$$\bar x=0{,}6\cdot3+0{,}4\cdot4=3{,}4.$$

Średnia kwadratów ocen w obu grupach to odpowiednio $1^2+3^2=10$ oraz $1{,}5^2+4^2=18{,}25$. Dla całej klasy

$$E(X^2)=0{,}6\cdot10+0{,}4\cdot18{,}25=13{,}3.$$

Zatem $\sigma^2=13{,}3-3{,}4^2=1{,}74$, czyli $\sigma=\sqrt{1{,}74}\approx1{,}32$.