MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 285

Ważona suma czasów wynosi $70$ godzin, dlatego

$$\bar x=\frac{70}{30}=\frac73\text{ h}=2\text{ h }20\text{ min}.$$

Ważona suma kwadratów czasów to $184{,}5$, więc

$$\sigma^2=\frac{184{,}5}{30}-\left(\frac73\right)^2 =\frac{127}{180}, \qquad \sigma\approx0{,}84\text{ h}.$$

Warunek $|x-\frac73|<0{,}84$ spełniają czasy $1{,}5$, $2$, $2{,}5$ i $3$ godziny. Podało je łącznie $5+5+8+4=22$ uczestników.

Dla pełnego zestawu odchylenie standardowe wynosi około $211{,}89$ zł, czyli po zaokrągleniu $212$ zł.

a) Po pominięciu $2200$ zł odchylenie wynosi około $195{,}08$ zł, czyli $195$ zł. Maleje o $17$ zł.

b) Po pominięciu $2800$ zł odchylenie wynosi około $177{,}17$ zł, czyli $177$ zł. Maleje o $35$ zł.

c) Po pominięciu obu skrajnych wynagrodzeń odchylenie wynosi około $162{,}48$ zł, czyli $162$ zł. Maleje o $50$ zł.

Początkowe wyniki po uporządkowaniu to $2,2,2,3,4,4,6,6,7$. Ich średnia i mediana są równe $4$. Wariancja wynosi $\frac{10}{3}$, zatem $\sigma=\sqrt{\frac{10}{3}}=\frac{\sqrt{30}}3$.

Po dopisaniu wyniku $4$ suma wynosi $40$, więc średnia nadal jest równa $4$. Dwa środkowe wyniki także są równe $4$, zatem mediana się nie zmienia. Nowa wariancja wynosi $3$, a odchylenie $\sqrt3$. Spadek jest równy

$$\frac{\sqrt{30}}3-\sqrt3\approx0{,}094.$$

Średnia liczb od $1$ do $7$ wynosi $4$. Kwadraty odchyleń od średniej sumują się do $9+4+1+0+1+4+9=28$, więc

$$\sigma=\sqrt{\frac{28}{7}}=2\text{ zł}.$$

Pomnożenie wszystkich danych przez dodatnią liczbę $c$ mnoży odchylenie standardowe przez $c$. Po podwojeniu kwot byłoby ono więc dwukrotnie, a po potrojeniu — trzykrotnie większe.

Pozostałe $20\%$ uczniów otrzymało ocenę $5$. Średnia ważona wynosi

$$\bar x=0{,}5\cdot3+0{,}3\cdot4+0{,}2\cdot5=3{,}7.$$

Ponadto

$$\sigma^2=0{,}5\cdot3^2+0{,}3\cdot4^2+0{,}2\cdot5^2-3{,}7^2 =14{,}3-13{,}69=0{,}61,$$

czyli $\sigma=\sqrt{0{,}61}\approx0{,}78$.

Suma dziewięciu stałych liczb wynosi $35$, zatem średnia to $\frac{35+k}{10}$. Dla $k\ge5$ dwa środkowe wyrazy uporządkowanego zestawu są równe $3$ i $5$, więc mediana wynosi $4$. Warunek równości daje

$$\frac{35+k}{10}=4,$$

czyli $k=5$. (Dla $k<5$ bezpośrednie rozpatrzenie mediany nie daje rozwiązania.)

Po wstawieniu $k=5$ średnia wynosi $4$, a suma kwadratów odchyleń od niej jest równa $16$. Zatem

$$\sigma^2=\frac{16}{10}=1{,}6, \qquad \sigma=\sqrt{1{,}6}\approx1{,}26.$$