MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 284

Dla Jurka

$$\bar x_J=\frac{9}{6}=1{,}5, \qquad \sigma_J^2=\frac{0^2+3^2+2^2+3^2+1^2+0^2}{6}-1{,}5^2 =\frac{19}{12},$$

czyli $\sigma_J=\sqrt{\frac{19}{12}}\approx1{,}26$.

Dla Wojtka

$$\bar x_W=\frac{10}{6}=\frac53, \qquad \sigma_W^2=\frac{2^2+1^2+2^2+3^2+0^2+2^2}{6}-\left(\frac53\right)^2 =\frac89,$$

więc $\sigma_W=\frac{2\sqrt2}{3}\approx0{,}94$. Wojtek ma większą średnią, a Jurek większe odchylenie standardowe.

U każdej osoby suma oczek wynosi $80$, więc wszystkie średnie są równe $80:20=4$. Korzystamy ze wzoru $\sigma^2=\frac{\sum n_ix_i^2}{20}-\bar x^2$.

Kuba: $\sum n_ix_i^2=352$, zatem $\sigma^2=17{,}6-16=1{,}6$ i $\sigma\approx1{,}26$.

Ania: $\sum n_ix_i^2=374$, zatem $\sigma^2=18{,}7-16=2{,}7$ i $\sigma\approx1{,}64$.

Maciek: $\sum n_ix_i^2=394$, zatem $\sigma^2=19{,}7-16=3{,}7$ i $\sigma\approx1{,}92$.

Lewy koniec przedziału nie należy do niego, a prawy należy.

a) $\bar x=3$, $\sigma=2$, więc przedział to $(1,5\rangle$. Leżą w nim $2,3,4,5$, czyli $4$ liczby.

b) $\bar x=2$, $\sigma^2=\frac{24}{7}$, zatem $\sigma=\sqrt{\frac{24}{7}}\approx1{,}85$. Przedział ma w przybliżeniu postać $(0{,}15,3{,}85\rangle$; należą do niego $1,1,3$, czyli $3$ liczby.

c) $\bar x=\frac{12}{7}$, $\sigma^2=\frac{24}{49}$, więc $\sigma=\frac{2\sqrt6}{7}$. Przedział ma w przybliżeniu postać $(1{,}01,2{,}41\rangle$ i zawiera trzy wystąpienia liczby $2$.

Zestaw B powstaje z A przez odjęcie od każdego elementu tej samej liczby $\sqrt2$. Takie przesunięcie zmienia średnią o $-\sqrt2$, lecz nie zmienia odchyleń poszczególnych wartości od średniej. Oba odchylenia standardowe są więc równe.

Dla A średnia wynosi $3$, a suma kwadratów odchyleń to $(-2)^2+(-1)^2+0^2+3^2=14$, zatem

$$\sigma_A=\sigma_B=\sqrt{\frac{14}{4}}=\frac{\sqrt{14}}2.$$

Ten sam wynik ma każde przesunięcie zestawu A, na przykład $0,1,2,5$.

Kwoty kwartalne otrzymujemy, mnożąc procenty przez $20\,000$ zł. W każdej filii suma roczna wynosi cały budżet, więc średnia kwartalna to $5000$ zł.

• Filia I: kwoty $4000,6000,2000,8000$; wariancja wynosi $5\,000\,000$, więc $\sigma\approx2236$ zł.
• Filia II: kwoty $1000,3000,7000,9000$; wariancja $10\,000\,000$, więc $\sigma\approx3162$ zł.
• Filia III: kwoty $6000,7000,2000,5000$; wariancja $3\,500\,000$, więc $\sigma\approx1871$ zł.
• Filia IV: kwoty $1000,2000,8000,9000$; wariancja $12\,500\,000$, więc $\sigma\approx3536$ zł.