MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 283

Po uporządkowaniu zestaw ma postać $5,6,7,8,8,9,9,9,10,11,13$, więc jego mediana wynosi $9$. Jest w nim osiem liczb nie większych od $9$.

Po dopisaniu czterech liczb większych od $9$ zestaw liczy $15$ elementów, a jego $8.$ elementem nadal jest $9$. Po dopisaniu pięciu takich liczb zestaw liczyłby $16$ elementów; $8.$ element to $9$, lecz $9.$ jest już większy od $9$, więc mediana przekroczyłaby $9$.

a) Zestaw $1,5,6,8,20$ ma środkowy element $6$ i sumę $40$, więc jego mediana wynosi $6$, a średnia $8$.

b) Zestaw $1,2,3,4,6,6,7,8,9,54$ ma dwa środkowe elementy równe $6$ i sumę $100$, więc jego mediana wynosi $6$, a średnia $10$.

Wśród dziesięciu stałych liczb są cztery jedynki, trzy piątki oraz liczby $6,6,7$. Niezależnie od naturalnej wartości $n$ szóstą liczbą po uporządkowaniu jest $5$, więc mediana wynosi $5$.

Suma stałych liczb wynosi $38$, zatem z warunku, że mediana jest o $1$ większa od średniej, mamy

$$5=\frac{38+n}{11}+1.$$

Stąd $38+n=44$ i $n=6$.

Suma wszystkich liczb musi być równa $11\cdot9=99$.

a) Szósty element jedenastu różnych dodatnich liczb naturalnych jest nie mniejszy niż $6$. Wartość $6$ jest osiągalna, na przykład dla zestawu $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,44$, którego suma wynosi $99$.

b) Jeśli mediana wynosi $m$, to najmniejsza możliwa suma pięciu liczb przed nią to $1+2+3+4+5=15$, a najmniejsza suma pięciu liczb za nią to $(m+1)+\cdots+(m+5)=5m+15$. Zatem

$$99\ge15+m+(5m+15)=6m+30,$$

więc $m\le11$. Wartość $11$ osiąga zestaw $1,2,3,4,5,11,12,13,14,15,19$, mający sumę $99$.

Gdyby taki zestaw istniał, suma jego liczb musiałaby wynosić

$$55\cdot5{,}5=302{,}5.$$

Suma liczb całkowitych jest jednak liczbą całkowitą, a $302{,}5$ nią nie jest. Otrzymujemy sprzeczność.

Po uporządkowaniu wyrazy nadal tworzą ciąg arytmetyczny. Oznaczmy pierwszy i ostatni przez $a_1$ i $a_n$. Średnia wszystkich jego wyrazów wynosi

$$\bar x=\frac{a_1+a_n}{2}.$$

Jeśli $n$ jest nieparzyste, środkowy wyraz — czyli mediana — jest równy $\frac{a_1+a_n}{2}$. Jeśli $n$ jest parzyste, dwa środkowe wyrazy mają sumę $a_1+a_n$, więc ich średnia, będąca medianą, także wynosi $\frac{a_1+a_n}{2}$. W obu przypadkach $\bar x=M$.

Wystarczy pozostawić po pięć liczb i sprawdzić warunek.

a) Dla $0,6,7,8,9$ mamy $\bar x=6$ oraz $M=7$, więc $\bar x<M$.

b) Dla $0,1,4,7,8$ mamy $\bar x=4$ oraz $M=4$.

c) Dla $0,1,2,8,9$ mamy $\bar x=4$ oraz $M=2$, więc $\bar x>M$.

Średnią obliczamy jako średnią ważoną udziałami procentowymi:

$$\bar x=0{,}1\cdot1500+0{,}2\cdot2000+0{,}3\cdot2500 +0{,}2\cdot3000+0{,}1\cdot5000+0{,}1\cdot7000=3100\text{ zł}.$$

Do kwoty $2000$ zł włącznie należy $30\%$ pracowników, a kwotę $2500$ zł otrzymuje następne $30\%$, zatem mediana wynosi $2500$ zł. Jest to też najczęstsza płaca, więc stanowi dominantę.

Suma siedmiu liczb wynosi $7\cdot5=35$. Po zsumowaniu wyrazów zestawu dostajemy

$$27+(2x-y)+(x^2+y)=27+2x+x^2=35,$$

czyli $x^2+2x-8=0$. Stąd $x=2$ albo $x=-4$.

Aby $3$ była dominantą, jeden z wyrazów $2x-y$ i $x^2+y$ musi być równy $3$ (gdy oba są równe $4$, dominantą byłaby liczba $4$).

• Dla $x=2$: z $4-y=3$ mamy $y=1$, a z $4+y=3$ mamy $y=-1$.
• Dla $x=-4$: z $-8-y=3$ mamy $y=-11$, a z $16+y=3$ mamy $y=-13$.

W każdym z czterech przypadków drugi wyraz zmienny wynosi $5$, więc $3$ jest jedyną dominantą.

Niech średni dochód wynosi $d>0$, a liczba mieszkańców — $N$. Łączny dochód wszystkich mieszkańców jest równy $Nd$.

Gdyby $10\%$ mieszkańców osiągało dochód $12d$, dochód tylko tej grupy wynosiłby

$$0{,}1N\cdot12d=1{,}2Nd,$$

czyli $120\%$ całego dochodu wynikającego z definicji średniej. Przy nieujemnych dochodach pozostałych mieszkańców jest to niemożliwe.