MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 280

W początkowym zestawie każda liczba występuje tylko raz. Aby $3$ była jednoznaczną dominantą po dopisaniu dwóch liczb, trzeba dopisać $3$ i $3$. Suma otrzymanych liczb wynosi

$$7+9+1+20+6+3+3=49,$$

więc średnia jest równa $49:7=7$.

a) Przykład: $1,2,3,10,20,70,104$. Czwartą liczbą jest $10$, więc mediana wynosi $10$, a suma $210$ daje średnią $30$.

b) Przykład: $1,2,5,5,10,20,27$. Mediana i jedyna dominanta są równe $5$, natomiast suma $70$ daje średnią $10$, czyli dwukrotność tej wartości.

W każdym podpunkcie wystarczy przykład.

a) Dla zestawu $(-100,1,1)$ średnia wynosi $-\frac{98}{3}<0$, a mediana i dominanta są równe $1>0$.

b) Dla zestawu $(-10,-9,-8,1,1,100)$ mediana wynosi $\frac{-8+1}{2}=-3{,}5$, natomiast średnia $\frac{75}{6}=12{,}5$ i dominanta $1$ są dodatnie.

c) Dla zestawu $(-1,-1,1,2,100)$ dominanta wynosi $-1$, mediana $1$, a średnia $\frac{101}{5}=20{,}2$.

Po uporządkowaniu otrzymujemy $2,2,3,5,6,7,7,8,11,14$. Suma wynosi $65$, więc średnia to $6{,}5$; mediana także wynosi $\frac{6+7}{2}=6{,}5$.

Po usunięciu liczby $x$ średnia wynosi $\frac{65-x}{9}$. Bezpośrednie sprawdzenie mediany dziewięcioelementowego zestawu daje:

• po usunięciu $3$, $5$, $6$ albo $14$ średnia jest mniejsza od mediany;
• po usunięciu jednej z liczb $7$ albo liczby $8$ średnia jest większa od mediany.

Dla pozostałych możliwości obie wartości są równe albo nierówność ma przeciwny zwrot.

a) W każdej klasie ważona suma punktów odczytana z diagramu wynosi $125$. Ponieważ każda klasa liczy $25$ osób, wszystkie trzy średnie są równe $5$.

b) Po zsumowaniu kolejnych liczebności otrzymujemy:

• IIIa: obserwacja $13.$ ma wartość $6$, a największa liczebność przypada na $7$, więc $M=6$, $D=7$;
• IIIb: obserwacja $13.$ ma wartość $5$ i jest ona najczęstsza, więc $M=D=5$;
• IIIc: obserwacja $13.$ ma wartość $4$, a najczęstsza jest wartość $3$, więc $M=4$, $D=3$.

c) Przykładowo niech $10$ uczniów uzyska $4$ punkty, $8$ uczniów — $6$ punktów, a $7$ uczniów — $8$ punktów. Wtedy $D=4$, $M=6$ oraz

$$\bar x=\frac{10\cdot4+8\cdot6+7\cdot8}{25}=\frac{144}{25}=5{,}76,$$

czyli $D<\bar x<M$.