MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 27

Przesunięcie poziome zmienia miejsca zerowe, ale nie zbiór wartości, a przesunięcie pionowe zmienia zbiór wartości.

a) $\sin(x-\frac\pi3)=0$ dla $x=\frac\pi3+k\pi$.

b) $\cos(x+\frac\pi6)=0$ dla $x=\frac\pi3+k\pi$.

c) $\sin x+2\in\langle1;3\rangle$, więc zer brak.

d) $\cos x-1=0$ dla $x=2k\pi$.

e) Zakres $\langle-3;-1\rangle$ wyklucza zera.

f) $\cos(x-\frac\pi3)=-1$ dla $x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi$.

Asymptoty otrzymujemy z argumentów, dla których funkcja bazowa nie istnieje.

a) $x-\frac\pi6=\frac\pi2+k\pi$, czyli równoważnie $x=-\frac\pi3+k\pi$.

b) $x+\frac\pi3=k\pi$, więc $x=-\frac\pi3+k\pi$.

c) Dla tangensa: $x=\frac\pi2+k\pi$.

d) Dla cotangensa: $x=k\pi$.

e) $x-\frac{2\pi}{3}=\frac\pi2+k\pi$, czyli $x=\frac\pi6+k\pi$.

f) $x+\frac{5\pi}{6}=k\pi$, czyli również $x=\frac\pi6+k\pi$. Dziedzina jest w każdym przypadku zbiorem liczb rzeczywistych bez odciętych asymptot.

Korzystamy z okresu $2\pi$ sinusa:

$$f(x)=\sin(x-3\pi)=\sin(x-\pi)=-\sin x,$$

natomiast

$$g(x)=\sin(x+4\pi)=\sin x.$$

Zatem dla każdego $x\in\mathbb R$ zachodzi $f(x)=-g(x)$, czyli wartości funkcji dla tego samego argumentu są przeciwne.

Dziedziną funkcji sinusowych i cosinusowych jest $\mathbb R$; dla tangensa wykluczamy $\frac\pi2+k\pi$, a dla cotangensa $k\pi$.

a) Zakres $-\sin x+2$ to $\langle1;3\rangle$, więc zer brak.

b) $1-\cos x=0$ dla $x=2k\pi$, a zakres to $\langle0;2\rangle$.

c) Zero zachodzi, gdy $\sin(x-\frac\pi3)=1$, czyli dla $x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$.

d) Zakres $2-\cos(x+\frac\pi6)$ to $\langle1;3\rangle$.

e) $\operatorname{tg}(-x)-1=-\operatorname{tg}x-1$, więc zera mają postać $-\frac\pi4+k\pi$.

f) $-\operatorname{ctg}(-x)+\sqrt3=\operatorname{ctg}x+\sqrt3$, więc zera to $-\frac\pi6+k\pi$.

Przesunięcia pionowe nie zmieniają monotoniczności. Uwzględniamy przesunięcie argumentu i ewentualny znak minus.

a) Punktami zwrotnymi są $-\frac{2\pi}{3}$ i $\frac\pi3$.

b) Maksimum występuje dla $x=\frac{2\pi}{3}$.

c) Funkcja $-\operatorname{tg}(x-\frac\pi6)$ jest malejąca na całym zadanym przedziale.

d) Pochodna złożenia $\operatorname{ctg}(\frac\pi6-x)$ ma dodatni znak, więc funkcja rośnie na całym przedziale.

Sinus przyjmuje wartość $1$ dla $x=\frac\pi2+2k\pi$. Aby cosinus przesunięty przyjmował wartość $1$ dokładnie w tych samych punktach, możemy sprawić, by były to jego minima:

$$g(x)=\cos\left(x+\frac\pi2\right)+2=-\sin x+2.$$

Wtedy $g(x)=1$ dokładnie wtedy, gdy $\sin x=1$. Okresowo równoważne przesunięcia poziome dają różne pary parametrów, ale ten sam wykres.