MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 278

a) Liczby tworzą ciąg arytmetyczny: $4,7,\ldots,31$. Jego średnia jest średnią pierwszego i ostatniego wyrazu:

$$\bar x=\frac{4+31}{2}=17{,}5.$$

b) Jest to ciąg geometryczny $4,8,\ldots,4\cdot2^9$. Suma dziesięciu wyrazów wynosi

$$S_{10}=4\frac{2^{10}-1}{2-1}=4092,$$

więc $\bar x=4092:10=409{,}2$.

Liczby dwucyfrowe nieparzyste tworzą ciąg arytmetyczny od $11$ do $99$, zatem ich średnia wynosi $\frac{11+99}{2}=55$.

Dwucyfrowe wielokrotności liczby $3$ biegną od $12$ do $99$, więc ich średnia jest równa $\frac{12+99}{2}=55{,}5$. Średnie nie są równe.

Oznaczmy sumy ocen grup przez $S_A,S_B,S_C$. Z danych:

$$S_A+S_B=18\cdot4=72,\qquad S_B+S_C=16\cdot3=48,$$

oraz $S_A+S_B+S_C=24\cdot3{,}5=84$. Stąd $S_C=12$, następnie $S_B=36$ i $S_A=36$. Po podzieleniu przez liczebności grup dostajemy

$$\bar x_A=\frac{36}{8}=4{,}5, \quad \bar x_B=\frac{36}{10}=3{,}6, \quad \bar x_C=\frac{12}{6}=2.$$

a) Średnia w firmie A wynosi

$$0{,}3\cdot4000+0{,}7\cdot4500=4350\text{ zł},$$

a w firmie B:

$$0{,}7\cdot4100+0{,}3\cdot4600=4250\text{ zł}.$$

Zatem mimo wyższych płac w obu grupach średnia w firmie B jest niższa.

b) Niech $a,b$ oznaczają udziały osób poniżej $30$ lat odpowiednio w A i B (jako liczby od $0$ do $1$). Średnie mają postać

$$4500-500a\quad\text{i}\quad4600-500b.$$

Ich równość daje $b-a=0{,}2$, czyli różnicę $20$ punktów procentowych.

Niech liczbami będą $a,b,c,d$. Z założenia każda z czterech sum trójelementowych jest mniejsza od $45$:

$$a+b+c<45,\ a+b+d<45,\ a+c+d<45,\ b+c+d<45.$$

Po dodaniu nierówności każda liczba występuje trzy razy, więc $3(a+b+c+d)<180$. Zatem

$$\frac{a+b+c+d}{4}<15.$$

Oznaczmy długości kolejnych boków przez $a_1,\ldots,a_6$, przy czym $a_1+\cdots+a_6=18$.

Każda z sześciu krótszych przekątnych jest mniejsza od sumy dwóch boków leżących na odpowiedniej drodze między jej końcami. Po dodaniu tych sześciu nierówności każdy bok pojawia się dwa razy, więc suma tych przekątnych jest mniejsza od $36$.

Dla przekątnej łączącej przeciwległe wierzchołki długość jest mniejsza od każdej z dwóch sum trzech boków tworzących drogi między jej końcami. Dodanie tych dwóch nierówności daje dwukrotność długości przekątnej mniejszą od $18$, zatem każda z trzech takich przekątnych ma długość mniejszą od $9$. Ich suma jest więc mniejsza od $27$.

Suma długości wszystkich dziewięciu przekątnych jest mniejsza od $36+27=63$, a zatem ich średnia jest mniejsza od $63:9=7$.

Najmniejszą liczbą $n$-cyfrową jest $10^{n-1}$, a największą $10^n-1$. Wszystkie takie liczby tworzą ciąg arytmetyczny, więc średnia jest średnią wyrazów skrajnych:

$$\bar x=\frac{10^{n-1}+10^n-1}{2} =\frac{11\cdot10^{n-1}-1}{2}.$$

Niech $p$ oznacza liczbę liczb dodatnich, a $q$ — ujemnych. Z warunku o średniej całego zestawu:

$$\frac{18p-10q}{p+q}=1 \iff17p=11q.$$

Liczby $11$ i $17$ są względnie pierwsze, zatem $p=11k$, $q=17k$ dla dodatniej liczby naturalnej $k$. Zestaw liczy $28k<30$ elementów, więc $k=1$.