MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 277

Suma początkowych liczb to $267$. Dla dokładanej liczby dwucyfrowej $x$ warunek brzmi

Spełniają go liczby $94,95,96,97,98,99$.

a) Łączna suma wynagrodzeń wzrasta o $4\cdot200=800$ zł, więc średnia wzrasta o $800/20=40$ zł.

b) Pensja $4860$ zł po podwyżce o $8\%$ oznacza wcześniejsze $4860/1{,}08=4500$ zł. Wzrost o $360$ zł zwiększa średnią o $360/20=18$ zł.

Średnia wszystkich wynosi $5\cdot1{,}14=5{,}7$. Jeśli pierwszy zespół liczy $n$ osób, drugi liczy $30-n$, zatem

Równanie $180-n=171$ daje $n=9$.

Niech $x$ oznacza liczbę znaczków po $80$ zł, a $y$ po $100$ zł. Mamy

oraz z łącznej wartości $1000\cdot73=73000$:

Po podstawieniu $y=600-x$ otrzymujemy $x=250$, $y=350$.

Suma ośmiu znanych liczb wynosi $-19$. Średnia $-2{,}1$ oznacza sumę $-21$, więc $k+m=-2$. Z uporządkowania i całkowitości wynika $-13\le k\le-7$ oraz $5\le m\le6$. Jedynymi parami spełniającymi oba warunki są $(-8,6)$ i $(-7,5)$.

Dzielniki to $1,2,\ldots,2^n$, więc ich średnia wynosi

Dla $n=8$ mamy $511/9<100$, a dla $n=9$ już $1023/10>100$. Ciąg $A_n$ jest dalej rosnący, dlatego wszystkie dodatnie rozwiązania to $n=1,\ldots,8$.

Jeśli czwórek jest $k$, to piątek jest $12-k$. Z warunku średniej:

Po pomnożeniu przez $12$ dostajemy $60-k=51$.

Początkowa suma wieku wynosi $9\cdot18=162$. Po dołączeniu trzech osób średnia dwunastu osób to $17$, więc nowa suma wynosi $204$. Trzy nowe osoby mają łącznie $42$ lata i są w tym samym wieku.

Suma dziesięciu liczb wynosi $80$, a ich średnia $8$. Po dodaniu dwóch liczb średnia ma pozostać równa $8$, więc ich suma musi wynosić $12\cdot8-80=16$. Dwie liczby o sumie $16$ i różnicy $4$ to $6$ i $10$.

Suma dziesięciu liczb wynosi $31$, więc średnia to $3{,}1$. Po usunięciu jednej liczby średnia dziewięciu liczb ma wynosić $3{,}0$, czyli ich suma $27$. Usunięta liczba to $31-27$.