MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 276

Łącznie test pisało $20$ uczniów, a suma ich punktów wynosi

$$10\cdot3+20\cdot1+30\cdot3+45\cdot5+50\cdot4+55\cdot1+60\cdot3=800.$$

Średnia to $800/20=40$. Wynik większy od $40$ uzyskało $5+4+1+3=13$ osób, czyli $13/20=65\%$.

Średnia całej firmy jest średnią ważoną liczbą pracowników:

$$\frac{100\cdot3400+40\cdot4800}{100+40} =\frac{532000}{140}=3800.$$

Możemy użyć udziałów procentowych jako wag:

$$0{,}10\cdot17+0{,}20\cdot14+0{,}30\cdot16+0{,}40\cdot15 =15{,}3.$$

Równoważnie w czterdziestoosobowym chórze jest odpowiednio $4$, $8$, $12$ i $16$ osób w podanych grupach wieku.

Wystarczą następujące przykłady dziewięciu różnych dodatnich liczb:

• a) $\{2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ ma średnią $6$;
• b) $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ ma średnią $5$;
• c) $\{1,2,3,4,5,6,10,11,12\}$ ma średnią $6$, która dzieli największą liczbę $12$;
• d) $\{96,97,98,99,100,101,102,103,104\}$ ma średnią $100$.

Suma ośmiu znanych odległości wynosi $800$. Niech dwa pozostałe skoki mają długości $x$ i $x+2$. Ich średnia $x+1$ jest zarazem średnią wszystkich skoków:

$$x+1=\frac{800+x+(x+2)}{10}.$$

Stąd $x=99$, drugi skok ma $101$ m, a średnia wynosi $100$ m. Dłuższe od niej są skoki $106$, $103$, $105$ i $101$ m.

Skoro oddział $B$ osiągnie obecną średnią oddziału $A$ za trzy lata, jego obecna średnia wynosi $27$ lat. Po tych trzech latach średnie wyniosą odpowiednio $33$ i $30$ lat. Po upływie kolejnych trzech lat będą to $36$ i $33$ lata. Średnia ważona całej firmy wyniesie wtedy

$$\frac{12\cdot36+24\cdot33}{36}=34.$$