MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 274

Rozkładamy mianownik:

$$\frac{-x+2}{x^2-5x+6} =\frac{-(x-2)}{(x-2)(x-3)}=-\frac1{x-3}.$$

Dla $x\to3^-$ mianownik dąży do $0^-$, więc iloraz dąży do $+\infty$.

Z reguły ilorazu:

$$f'(x)=\frac{3(x^2+4)-(3x-1)2x}{(x^2+4)^2} =\frac{-3x^2+2x+12}{(x^2+4)^2}.$$

Niech $a$ będzie bokiem kwadratowego dna, a $h$ wysokością. Z warunku objętości $a^2h=144$, więc $h=144/a^2$. Ograniczenia wymiarów dają $4\le a\le9$.

Koszt dna i czterech ścian wynosi

$$K(a)=100a^2+75\cdot4ah=100a^2+\frac{43200}{a}.$$

Pochodna $K'(a)=200a-43200/a^2$ zeruje się dla $a^3=216$, czyli $a=6$. Znak pochodnej zmienia się z ujemnego na dodatni, a punkt należy do dziedziny. Wtedy $h=144/36=4$.

Niech $b$ będzie krótszą podstawą, $c$ ramieniem, a $h=2-a$ wysokością. Dla czworokąta opisanego na okręgu $a+b=2c$. Z geometrii trapezu

$$c^2=h^2+\left(\frac{a-b}{2}\right)^2.$$

Po podstawieniu $c=(a+b)/2$ dostajemy $ab=h^2=(2-a)^2$, czyli $b=(2-a)^2/a$. Warunki $h>0$ i $0<b<a$ dają $1<a<2$.

Obwód jest równy

$$L=2(a+b)=2\left(a+\frac{(2-a)^2}{a}\right) =\frac{4a^2-8a+8}{a}.$$

$L'(a)=4-8/a^2$, więc minimum występuje dla $a=\sqrt2$. Wtedy $b=3\sqrt2-4$, a połowa różnicy podstaw jest równa wysokości $2-\sqrt2$. Tangens kąta ostrego jest więc równy $1$.

Styczne równoległe do $y=4x$ muszą spełniać $f'(x)=4$. Ponieważ

$$3x^2-4x=4,$$

otrzymujemy $x=2$ lub $x=-2/3$. Punkty wykresu to $(2,1)$ oraz $(-2/3,-5/27)$. Proste o współczynniku $4$ przechodzące przez te punkty mają równania

$$y=4x-7,\qquad y=4x+\frac{67}{27}.$$