MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 273

Dla $x<3$ mamy $|x-3|=3-x$. Po usunięciu niewymierności

Iloraz jest więc równy $\sqrt{4-x}+1$, a jego granica to $2$.

Warunek ciągłości w $x=-1$ to równość wartości gałęzi:

Stąd $-7a/2=2$, więc $a=-4/7$. Liczba ta należy do $(-1;-1/2)$.

$f'(x)=3x^2$, zatem współczynnik stycznej w $x=-2$ wynosi $12$. Równanie stycznej:

Jej punkt przecięcia z osią $OY$ to $(0,16)$.

Oznaczmy czynniki przez $u=x^4/4-x^2/2$ i $v=x^3+x$. W punkcie $-1$:

Z reguły iloczynu $f'(-1)=u'v+uv'=0+(-1/4)\cdot4=-1$.

W punkcie $3$:

Porównanie liczb daje $h'(3)<f'(3)<g'(3)$.

Prędkość to $v(t)=x'(t)=3t^2-4t$. Stąd

Pochodna ma postać $f'(x)=-x^2/2+k$. Dla $k\le0$ jest wszędzie niedodatnia, więc funkcja jest malejąca. Dla $k>0$ pochodna jest dodatnia w pobliżu zera, a ujemna dla dużych $|x|$, więc funkcja nie jest monotoniczna. Spośród odpowiedzi dodatnie jest tylko $k=3$.

Punkty krytyczne to $x=\pm3/2$. Funkcja jest nieparzysta, $f(3/2)=2/3$, a $f(-3/2)=-2/3$. Są to odpowiednio maksimum i minimum globalne, ponieważ $f(x)\to0$ przy $|x|\to\infty$.

Minimalizujemy kwadrat odległości punktu $(x,4\sqrt2/x^2)$ od początku:

Warunek $(d^2)'=2x-128/x^5=0$ daje $x^6=64$, czyli $|x|=2$. Wtedy $y=\sqrt2$. Punkty $(\pm2,\sqrt2)$ spełniają $y=(\sqrt2/2)|x|$.