MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 26

Korzystamy z okresu $\pi$, nieparzystości tangensa i cotangensa oraz zależności $\operatorname{tg}(\frac\pi2-u)=\operatorname{ctg}u$.

a)

$$\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=\operatorname{tg}\left(\frac\pi2-\alpha\right)=\operatorname{ctg}\alpha.$$

b) Analogicznie

$$\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=\operatorname{ctg}\left(\frac\pi2-\alpha\right)=\operatorname{tg}\alpha.$$

c) $\operatorname{tg}(\pi-x)=\operatorname{tg}(-x)=-\operatorname{tg}x$.

d) $\operatorname{ctg}(\pi-\alpha)=\operatorname{ctg}(-\alpha)=-\operatorname{ctg}\alpha$.

Równości obowiązują dla argumentów, dla których obie strony są określone.

Środkami symetrii wykresu tangensa są punkty

$$S_k\left(\frac{k\pi}{2},0\right),\qquad k\in\mathbb Z.$$

Warunek przynależności do odcinka $AB$ ma postać

$$-50\le\frac{k\pi}{2}\le50,$$

czyli $|k|\le\frac{100}{\pi}$. Zatem $k=-31,-30,\ldots,31$, co daje $63$ punkty.

Dla każdego $m\in\mathbb Z$ mamy

$$f(m+15)=\operatorname{tg}\frac{(m+15)\pi}{15}=\operatorname{tg}\left(\frac{m\pi}{15}+\pi\right)=f(m).$$

Argumenty $\frac{m\pi}{15}$ nigdy nie są nieparzystymi wielokrotnościami $\frac\pi2$, więc funkcja jest określona dla wszystkich liczb całkowitych. Najmniejsze dodatnie przesunięcie całkowite odpowiadające okresowi $\pi$ tangensa wynosi $15$.

a) Po odjęciu odpowiednio $0$, $\pi$ i $2\pi$ argumenty $1$, $4$ i $7$ trafiają do $(0;\frac\pi2)$. Wszystkie trzy wartości cotangensa są dodatnie, więc ich suma jest dodatnia.

b) Liczby $2$, $5$ i $8$ leżą, po redukcji modulo $\pi$, w przedziale $(\frac\pi2;\pi)$. Każda z trzech wartości tangensa jest ujemna, zatem ich iloczyn jest ujemny.

Wspólny punkt musi spełniać

$$\sin x=\operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}.$$

Po pomnożeniu przez $\cos x\ne0$ otrzymujemy

$$\sin x(\cos x-1)=0.$$

W przedziale $(-\frac\pi2;\frac\pi2)$ zarówno $\sin x=0$, jak i $\cos x=1$ zachodzi tylko dla $x=0$. Obie funkcje mają wtedy wartość $0$, więc jedynym punktem wspólnym jest $(0,0)$.

Odbicie względem prostej $x=a$ zamienia wykres tangensa w wykres cotangensa, gdy

$$\operatorname{tg}(2a-x)=\operatorname{ctg}x.$$

Zachodzi to dla $2a=\frac\pi2+k\pi$, czyli $a=\frac\pi4+\frac{k\pi}{2}$.

Obrót o $180^\circ$ wokół $(a,0)$ zachowuje oba wykresy, gdy $2a=k\pi$, czyli $a=\frac{k\pi}{2}$.

a) Równość tangensa i cotangensa daje $\operatorname{tg}^2x=1$, czyli $x=\frac\pi4+\frac{k\pi}{2}$. W przedziale są $8$ takich liczb.

b) Z równania $\operatorname{tg}x=\cos x$ otrzymujemy $\sin x=\cos^2x$. Dla $s=\sin x$ równanie $s=1-s^2$ ma jedną wartość $s\in[-1;1]$, która daje po dwa rozwiązania w każdym okresie. Na dwóch okresach są $4$.

c) Analogicznie $\operatorname{ctg}x=\sin x$ prowadzi do $\cos x=\sin^2x$ i także daje $4$ rozwiązania.

Dla $t=\operatorname{tg}x$ nierówność ma postać $t>\frac1t$, więc

$$t\in(-1;0)\cup(1;+\infty).$$

Sprawdzamy liczby całkowite $-3,-2,\ldots,6$, pomijając $0$, dla którego cotangens nie istnieje. Warunek spełniają

$$x\in\{-2,1,3,4,6\}.$$

Ich suma wynosi $-2+1+3+4+6=12$.