MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 269

Po wyłączeniu czynnika lub usunięciu niewymierności otrzymujemy:

a) Mianownik to $x(x^2+6x+11)$, zatem granica wynosi $1/11$.

b) Po podstawieniu $t=x+2$ iloraz ma postać $(2+t^3)/(t+1)\to2$.

c) Po pomnożeniu mianownika przez sprzężenie:

$$\frac{(2x-1)(\sqrt{2x^3+2x-1}+x)}{(2x-1)(x^2+1)} o\frac45.$$

d) Sprzężenie licznika daje $2(x+2)$, a $x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$; granica wynosi $2/(12\cdot6)=1/36$.

e) Dla $x\to1^+$ mamy $(x-1)/(x-1)=1$.

f) Dla $x\to1^-$ mianownik $(1-x^3)|x-1|=(1-x)^2(1+x+x^2)\to0^+$, więc wynik to $+\infty$.

Badamy znaki licznika i mianownika po wskazanej stronie punktu.

• a) $6/0^+=+\infty$.
• b) $-1/0^+=-\infty$.
• c) $(x^2+3x-4)=(x-1)(x+4)\to0^-$, a licznik dąży do $5$, więc $-\infty$.
• d) mianownik $(x+5)(x+2)\to0^-$, licznik do $-12$, więc $+\infty$.
• e) Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika mamy $2(x-1)/[(2x-1)(2x+1)]$. Dla $x\to(-1/2)^+$ jest to liczba ujemna podzielona przez $0^-$, czyli $+\infty$.
• f) Różnica upraszcza się do $2x/[(3-x)^2(3+x)]$; przy $x\to-3^-$ licznik i czynnik $3+x$ są ujemne, więc wynik to $+\infty$.

Asymptotę pionową daje nieusuwalne zero mianownika.

a) Dla $x=-3$ licznik wynosi $3\ne0$, więc asymptotą jest $x=-3$.

b) $4-x^2=(2-x)(2+x)$, a licznik nie zeruje się ani dla $-2$, ani dla $2$; asymptoty to $x=-2$ i $x=2$.

c) Po skróceniu $(x+5)$ pozostaje $1/(x+1)$; $x=-5$ jest tylko luką, a asymptotą jest $x=-1$.

d) Po skróceniu $x^2+x+1$ pozostaje $1/(x-1)$, więc asymptotą jest $x=1$.

a) $D_f=\mathbb R\setminus\{-5\}$. Licznik nie zeruje się dla $x=-5$, więc $x=-5$ jest asymptotą pionową. Ponieważ $\sqrt{x^2+3}\sim|x|$, asymptoty poziome to $y=-1$ przy $x\to-\infty$ i $y=1$ przy $x\to+\infty$.

b) $D_f=\mathbb R\setminus\{-1,2\}$. Oba wykluczone punkty dają asymptoty pionowe. Dla $x\to+\infty$ iloraz dąży do $3$, a dla $x\to-\infty$ do $-3$.

c) $D_f=\mathbb R\setminus\{-1,1\}$. Obie proste $x=-1$ i $x=1$ są asymptotami pionowymi, a $|x|/(|x|-1)\to1$ po obu stronach nieskończoności.

Porównujemy wyrazy najwyższych stopni, pamiętając że dla $x\to-\infty$ nieparzysta potęga jest ujemna:

• a) $3x^3$ dominuje, więc $+\infty$;
• b) $-x^3$ dominuje, więc $+\infty$;
• c) iloraz zachowuje się jak $-x^2$, więc $-\infty$;
• d) iloraz współczynników wiodących to $1/0{,}5=2$;
• e) $\sqrt{x^2+16}/(16-x)\sim x/(-x)=-1$;
• f) po pomnożeniu przez sprzężenie wyrażenie jest równe $\sqrt{x+5}+\sqrt x$, więc dąży do $+\infty$.

Racjonalizujemy mianownik:

$$\sqrt{x^2-2x}-\sqrt{x^2+2x} =\frac{-4x}{\sqrt{x^2-2x}+\sqrt{x^2+2x}}.$$

Dla $x\to-\infty$ mianownik po lewej dąży do $2$, zatem cała granica wynosi $k/2$. Jest ujemna dokładnie wtedy, gdy $k<0$.

Aby funkcja była określona dla dostatecznie dużych $x$, potrzeba $k>0$. Wtedy

$$\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt x+1}{\sqrt{1+kx}} =\frac1{\sqrt k}.$$

Warunek $1/\sqrt k=1/4$ daje $\sqrt k=4$.