MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 270

Sprawdzamy wyłącznie punkty sklejenia.

a) Dla $x=-2$ obie granice i wartość wynoszą $-7$, więc funkcja jest ciągła na $\mathbb R$.

b) Dla $x=1$ obie gałęzie dają $2$; funkcja jest ciągła na $\mathbb R$.

c) W $0$ obie gałęzie dają $1$, ale w $3$ lewa granica wynosi $16$, a prawa granica i wartość $14$. Funkcja jest nieciągła tylko w $x=3$.

d) Dla $x=2\sqrt2$ obie gałęzie dają $4\sqrt2$, więc funkcja jest ciągła na $\mathbb R$.

W każdym podpunkcie funkcja różnicowa jest ciągła na podanym przedziale.

a) $F(2)=-1<0<F(3)=8$.

b) Dla $F(x)=\sqrt{2x^2+3}-\sqrt{x^2+2}-1$ mamy $F(-3)>0$ oraz $F(-2)<0$.

c) Dla $F(x)=x/(x^2+1)+x/(x^2+4)-x-1$ mamy $F(-2)=7/20>0$ i $F(-1)=-7/10<0$.

W każdym przypadku twierdzenie o wartości pośredniej daje miejsce zerowe we wnętrzu wskazanego przedziału.

Niech $F(x)=x^4-0{,}5x-0{,}2$. Jest to funkcja ciągła. Mamy

$$F(-1)=1{,}3>0>F(0)=-0{,}2$$

oraz

$$F(0)=-0{,}2<0<F(1)=0{,}3.$$

Twierdzenie o wartości pośredniej daje jedno zero w $(-1;0)$ i drugie w $(0;1)$. Przedziały są rozłączne, więc rozwiązania są różne.

Prosta $k$ ma współczynnik $-1/2$, więc prostopadła do niej styczna musi mieć współczynnik $2$. Ponieważ

$$f'(x)=4x^3-4x+2,$$

warunek $f'(x)=2$ daje $4x(x-1)(x+1)=0$, czyli $x=-1,0,1$. Punkty wykresu to $(-1,-3)$, $(0,0)$ i $(1,1)$. Styczne mają równania $y=2x-1$, $y=2x$ oraz ponownie $y=2x-1$.

Stosując reguły sumy, iloczynu, ilorazu i łańcuchową, otrzymujemy:

$$\begin{aligned} \text{a)}\;&2x+4, & \text{b)}\;&3x^2, & \text{c)}\;&14x-8x^3,\\ \text{d)}\;&5x^4-6x^2-8, & \text{e)}\;&-15x^4+12x^3+2x-1,\\ \text{f)}\;&75x^4-120x^3+12x-12,\\ \text{g)}\;&\frac{5x^2+2x-4}{(5x+1)^2}, & \text{h)}\;&\frac{-3x^2+4x+12}{(x^2+4)^2},\\ \text{i)}\;&\frac{-6x^2+12x+6}{(x^2-3x+4)^2},\\ \text{j)}\;&-\frac{15}{(3x+1)^6}, & \text{k)}\;&\frac{2\sqrt x+1}{4\sqrt x\sqrt{x+\sqrt x}},\\ \text{l)}\;&-12\sin4x\cos^2 4x. \end{aligned}$$

W podpunkcie k) wzór pochodnej obowiązuje dla $x>0$; w $x=0$ nie ma skończonej pochodnej prawostronnej.