MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 268

W każdym podpunkcie funkcja jest ciągła w $x_0$, więc granicę obliczamy przez podstawienie:

$$f(2)=2\cdot2^2-3\cdot2+1=3,$$ $$g(10)=\frac{10+2}{10-6}=3,$$ $$h(-1)=\frac1{-1+3}+\frac5{5(-1)+7}=\frac12+\frac52=3.$$

Z praw działań na granicach każda z trzech granic jest zatem równa $3$.

a) Z ciągłości wielomianu:

$$4x_0^2+2x_0-1=1,\qquad 2x_0^2+x_0-1=(2x_0-1)(x_0+1)=0.$$

Stąd $x_0=-1$ lub $x_0=1/2$.

b) Dla $x_0\ne0$ rozwiązujemy

$$\frac{x_0}{6}+\frac6{x_0}=2.$$

Po pomnożeniu przez $6x_0$ dostajemy $x_0^2-12x_0+36=(x_0-6)^2=0$, czyli $x_0=6$.

Dla $a\ne0$ usuwamy nieoznaczoności:

$$\lim_{x\to1}\frac{a(x-1)}{\sqrt x-1} =\lim_{x\to1}a(\sqrt x+1)=2a,$$ $$\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x+2)}{a(x-2)}=\frac4a.$$

Po prawej stronie podstawienie $x=2$ daje

$$\frac{\sqrt9\sqrt4}{\sqrt9-\sqrt4}=6.$$

Zatem $2a+4/a=6$, czyli $a^2-3a+2=(a-1)(a-2)=0$. Obie wartości spełniają warunek $a\ne0$.

Funkcja jest ciągła, więc szukamy jej miejsc zerowych:

$$3-\bigl|2-|1-x|\bigr|=0 \iff \bigl|2-|1-x|\bigr|=3.$$

Równanie $2-|1-x|=3$ jest sprzeczne, a z $2-|1-x|=-3$ wynika $|1-x|=5$. Stąd $1-x=5$ albo $1-x=-5$.

Stosujemy podstawienie, rozkład na czynniki lub usuwanie niewymierności:

$$\begin{aligned} \text{a)}&\ 16, & \text{b)}&\ 15, & \text{c)}&\ \lim_{x\to3}\frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac16,\\ \text{d)}&\ \lim_{x\to-2}\frac{x(x+2)}{2(x+2)}=-1, & \text{e)}&\ \lim_{x\to1}\frac{-(x-1)}{2(x-1)(\sqrt{5-x}+2)}=-\frac18,\\ \text{f)}&\ \lim_{x\to5}(\sqrt x+\sqrt5)=2\sqrt5. \end{aligned}$$

W granicach jednostronnych: dla g) licznik dąży do $-3$, a mianownik do $0^+$, więc wynik to $-\infty$; dla h) licznik dąży do $8$, a $4-x^2\to0^+$, więc wynik to $+\infty$.

Dla i) iloraz zachowuje się jak $x/3$ przy $x\to-\infty$, dla j) iloraz współczynników wiodących wynosi $-1$, a dla k) stopień mianownika jest większy. W l) po pomnożeniu przez wyrażenie sprzężone otrzymujemy $4/(\sqrt{x+4}+\sqrt x)\to0$.

Z wykresu prawa granica w punkcie $-1$ wynosi $3$. Dla lewej gałęzi

$$\lim_{x\to-1^-}(-x+a)=1+a.$$

Granica obustronna istnieje dokładnie wtedy, gdy obie granice jednostronne są równe: $1+a=3$.