MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 260

Twierdzenie Weierstrassa wymaga funkcji ciągłej na przedziale domkniętym. Ze skanu strony 260 widać, że wykres $f$ ma w $x=0$ asymptotę pionową i osobno zaznaczoną wartość funkcji, więc $f$ nie jest ciągła. Wykres $g$ ma otwarte końce dziedziny, czyli nie jest określony na przedziale domkniętym. W obu przypadkach brakuje zatem jednego z założeń twierdzenia.

Ponieważ pierwiastek jest funkcją rosnącą, wystarczy porównać wartości wyrażenia pod pierwiastkiem na końcach oraz w jego wierzchołku:

• a) $x^2+9$ ma minimum $9$ w $0$ i maksimum $25$ na końcach;
• b) $x^2-12x+20$ maleje na $[-2,2]$: od $48$ do $0$;
• c) $16-(x+3)^2$ ma maksimum $16$ dla $x=-3$, a najmniejszą wartość $7$ dla $x=0$;
• d) $(x-4)^2+4$ ma minimum $4$ dla $x=4$, a największą wartość $25/4$ dla $x=5/2$.

a) Dla wnętrza dziedziny znak pochodnej wyznacza $2x(4-x^2)$, więc kandydatami są $x=-2,0,2$ oraz końce. Otrzymujemy minimum $0$ dla $x=\pm3$ i maksimum $5$ dla $x=\pm2$.

b) Skan strony 260 potwierdza mianownik $\sqrt x+1$ (nie $\sqrt{x+1}$). Dla $x\geq0$ racjonalizujemy: $\frac{x-1}{\sqrt x+1}=\sqrt x-1,$ zatem $f(x)=x-\sqrt x+1$. Minimum występuje przy $f'(x)=1-1/(2\sqrt x)=0$, czyli dla $x=1/4$, i wynosi $3/4$. Na końcach $f(0)=1$, $f(4)=3$, więc maksimum to $3$.

Odległość punktu $(x,x^2)$ od $P(0,1)$ jest równa $d(x)=\sqrt{x^2+(x^2-1)^2}=\sqrt{x^4-x^2+1}.$ Wystarczy zbadać kwadrat odległości. Jego pochodna to $2x(2x^2-1)$, więc sprawdzamy $x=0,\pm1/\sqrt2$ i końce $\pm1$. Kwadrat odległości przyjmuje odpowiednio wartości $1$, $3/4$ i $1$.

Porównujemy rozpiętości wartości, badając punkty stacjonarne i końce $[-3,3]$:

Dla $g$ punkty stacjonarne to $-1$ i $2$; minimum globalne wypada na lewym końcu, a maksimum w $-1$. Najmniejsza różnica wynosi więc $26$.

a) Na $[0,1]$ mamy $f=-5x^3-x^2+x+1$. Jej pochodna zeruje się w rozważanym przedziale dla $x=1/5$, gdzie $f=28/25$. Na $[1,2]$ funkcja $-5x^3+x^2-x+1$ jest malejąca, a $f(2)=-37$. Są to wartości globalnie skrajne.

b) Po podstawieniu $t=x^2$ otrzymujemy $t|1-t|$ przy $t\in[0,16]$. Dla $0\leq t\leq1$ jest to $t-t^2\geq0$, a dla $t\geq1$ funkcja $t^2-t$ rośnie. Minimum $0$ występuje dla $t=0$ lub $1$, maksimum zaś dla $t=16$ i wynosi $240$.

a) $\sin x+\sqrt3\cos x=2\sin\left(x+\frac\pi3\right).$ Na $[0,\pi]$ maksimum $2$ występuje dla $x=\pi/6$, a minimum $-\sqrt3$ na prawym końcu.

b) $f'(x)=1-\sin2x\geq0$ na $[0,\pi/2]$, więc funkcja jest niemalejąca. Porównanie końców daje $f(0)=1$ i $f(\pi/2)=\pi/2$.

Każdą nierówność otrzymamy przez wskazanie minimum odpowiedniej funkcji.

a) Dla $F=x^4+4x^3+30$ mamy $F'=4x^2(x+3)$, więc minimum jest w $x=-3$ i $F(-3)=3>0$.

b) Niech $t=x^2\geq0$. Funkcja $4t^3-t^2+1$ ma minimum dla $t=1/6$, równe $107/108>0$.

c) Dla $F=x^8-8x+7$ pochodna $8(x^7-1)$ zmienia znak z ujemnego na dodatni w $x=1$, a $F(1)=0$.

d) Dla $F=x^5-(x-1)^5$ mamy $F'=5(2x-1)(2x^2-2x+1).$ Drugi czynnik jest dodatni, więc minimum wypada w $x=1/2$ i wynosi $1/16$.

Skan strony 260 potwierdza współczynnik $4a^2$ w mianowniku. Granica jest równa ilorazowi współczynników przy $x^2$: $L(a)=\frac{a}{1+4a^2}.$ Ponieważ $L'(a)=\frac{1-4a^2}{(1+4a^2)^2},$ funkcja rośnie na $(-1/2,1/2)$ i maleje poza tym przedziałem. Ponadto $L(a)\to0$ dla $a\to\pm\infty$, więc otrzymane ekstrema są globalne.