MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 259

Odczytano skrajne rzędne zaznaczonych fragmentów wykresów ze skanu strony 259. Pełne kropki na końcach oznaczają, że wartości końcowe należą do zbiorów wartości. Otrzymujemy kolejno przedziały rzędnych $[-2,2]$, $[0,6]$ i $[-4,2]$.

Dla funkcji ciągłej na przedziale domkniętym porównujemy wartości na końcach i we wszystkich punktach stacjonarnych należących do przedziału. Otrzymujemy:

• a) funkcja rośnie; $f(0)=-5$, $f(3)=16$;
• b) funkcja maleje; $f(-6)=31$, $f(-4)=20$;
• c) funkcja rośnie; $f(-10)=-16$, $f(-7)=5$;
• d) jedyny punkt stacjonarny w przedziale to $x=-1$; $f(-2)=1$, $f(-1)=8$, $f(0)=3$;
• e) punkt stacjonarny $x=-4$; $f(-5)=-50$, $f(-4)=-60$, $f(0)=20$;
• f) punkt stacjonarny $x=-2$; $f(-3)=17$, $f(-2)=-42$, $f(-1)=-23$.

Porównujemy wartości na końcach i w zerach pochodnej:

• a) $f'(x)=9/(x+3)^2>0$, więc $f(-2)=-8$, $f(7)=1/10$;
• b) znak pochodnej wyznacza $(x+1)(x+2)$; w przedziale leży tylko $x=-1$, a $f(-\sqrt2)=0$, $f(-1)=-2$, $f(1)=-2/5$;
• c) licznik pochodnej jest równy $-4(3x+1)(x-3)$; wartości istotne to $f(-1/3)=-1/8$, $f(3)=9/8$, zaś końce nie dają wartości bardziej skrajnych;
• d) jedyny punkt stacjonarny w przedziale to $x=1/2$; $f(1/2)=-3$, a największą wartością końcową jest $f(1/4)=-23/9$.

Szerokość przedziału $[1,5]$ wynosi $4$. Ponadto $f'(x)=3(x-2)(x-4),$ więc wystarczy obliczyć wartości w $1,2,4,5$: $f(1)=-1,\quad f(2)=3,\quad f(4)=-1,\quad f(5)=3.$ Zatem $f([1,5])=[-1,3]$, również o długości $4$. Cały wykres mieści się więc w kwadracie $[1,5]\times[-1,3]$.

Rozpiętość pozioma wykresu jest ustalona i wynosi $4-(-4)=8$. Pochodna $f'(x)=\frac{6(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$ zeruje się dla $x=\pm1$. Wartości skrajne na $[-4,4]$ to $f(-1)=-3,\qquad f(1)=3,$ więc rozpiętość pionowa wynosi $6$. Najmniejszy prostokąt ma zatem boki długości $8$ i $6$.

Pierwiastki są rzeczywiste, gdy $\Delta=m^2-4(m^2+3m)=-3m(m+4)\geq0,$ czyli $m\in[-4,0]$. Ze wzorów Viète'a suma ich kwadratów wynosi $S=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=m^2-2(m^2+3m)=9-(m+3)^2.$ Na przedziale $[-4,0]$ funkcja ta jest ciągła, ma maksimum $9$ dla $m=-3$ i minimum $0$ dla $m=0$.