MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 261

Funkcja $h(x)=x^3-12x$ jest malejąca na $[-2,2]$ i ma tam zbiór wartości $[-16,16]$. Stąd $f([-2,2])=[-16-a,16-a],$ więc $\max f=16-a,\qquad \max|f|=\max\{|{-16-a}|,|16-a|\}=16+|a|.$ Nierówność $16-a<16+|a|$ zachodzi dokładnie dla $a>0$; dla $a\leq0$ obie strony są równe.

Dla ustalonego $a\geq0$ mamy $f'(x)=x^2-a^2.$ Na półosi $x\geq0$ funkcja maleje do $x=a$, a następnie rośnie, zatem $g(a)=f(a)=\frac13a^3-a^3+a^2=a^2-\frac23a^3.$ Teraz $g'(a)=2a(1-a)$, więc $g$ rośnie na $[0,1]$ i maleje na $[1,\infty)$. W $a=1$ osiąga maksimum lokalne $g(1)=1/3$.

Niech $t=x^2$. Dla $x\in[-3,3]$ mamy $t\in[0,9]$, a $x^4-8x^2+25=(t-4)^2+9.$ Najmniejsza wartość wyrażenia pod pierwiastkiem to $9$ dla $t=4$, a największa to $34$ dla $t=9$. Funkcja po lewej stronie przyjmuje więc dokładnie wartości z przedziału $[3,\sqrt{34}]$.

W całym zadanym przedziale $|q|<1$, więc suma szeregu istnieje i wynosi $S(x)=\frac{x^2}{1-\frac1{x+2}}=\frac{x^2(x+2)}{x+1}.$ Jej pochodna ma znak wyrażenia $x(2x^2+5x+4).$ Trójmian jest dodatni, zatem $S$ maleje do $x=0$ i potem rośnie. Minimum to $S(0)=0$, a z wartości końcowych większa jest $S\left(-\frac12\right)=\frac34.$

Po podzieleniu licznika i mianownika przez $n^3$ otrzymujemy $L(a)=\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{4a}{a^2+4}.$ Na $[-4,4]$ pochodna $L'(a)=\frac{4(4-a^2)}{(a^2+4)^2}$ zeruje się dla $a=\pm2$. Porównanie tych punktów z końcami przedziału daje minimum $L(-2)=-1$ i maksimum $L(2)=1$.

Zapisujemy $f(x)=-4(x-1)^2+2$. Gdy $a\leq0$, cały przedział $[a,a+1]$ leży na lewo od wierzchołka, więc maksimum jest na prawym końcu: $f(a+1)=-4a^2+2$. Gdy $0<a<1$, przedział zawiera wierzchołek $x=1$, więc maksimum wynosi $2$. Dla $a\geq1$ funkcja na przedziale maleje, zatem maksimum to $f(a)=-4(a-1)^2+2$.

Mamy $f'(x)=3x^2+8x-11=(x-1)(3x+11).$ Na półosi dodatniej funkcja maleje do $x=1$, a potem rośnie. Ponieważ $f(0)=-41<3$, największa wartość na szukanym przedziale będzie równa $f(a)$, zatem rozwiązujemy $a^3+4a^2-11a-41=3.$ Po przeniesieniu stron $a^3+4a^2-11a-44=(a+4)(a^2-11)=0.$ Jedynym dodatnim rozwiązaniem jest $a=\sqrt{11}$.

a) Pochodna $f'(x)=(1-x^2)/(x^2+1)^2$ pokazuje, że na półosi dodatniej funkcja rośnie do $x=1$, a potem maleje. Dla każdego $k\geq1$ mamy więc $g(k)=f(1)=1/2$.

b) Dla $x>0$ $f'(x)=\frac{x(x+2)}{(x+1)^2}>0,$ zatem $g(k)=f(k)=k^2/(k+1)$, co dąży do $+\infty$.

Jest to szereg geometryczny o pierwszym wyrazie $x^2$ i ilorazie $q=-x^2/4$. Warunek zbieżności $|q|<1$ daje $|x|<2$, zatem $D_f=(-2,2)$. Suma szeregu ma postać $f(x)=\frac{x^2}{1+x^2/4}=\frac{4x^2}{x^2+4}.$ Na $[-1,1]$ jest to funkcja parzysta, rosnąca wraz z $|x|$, więc przyjmuje wszystkie wartości od $f(0)=0$ do $f(\pm1)=4/5$.