MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 25

Korzystamy z okresu $\pi$ tangensa i cotangensa.

a) $\operatorname{tg}x=-\frac{\sqrt3}{3}$ dla $x=-\frac\pi6+k\pi$.

b) $\operatorname{ctg}x=\frac{\sqrt3}{3}$ dla $x=\frac\pi3+k\pi$.

c) $\operatorname{ctg}x=\sqrt3$ dla $x=\frac\pi6+k\pi$.

d) $\operatorname{tg}x=0$ dla $x=k\pi$. W każdym podpunkcie tylko jedna wartość należy do wskazanego przedziału.

Rozwiązania odpowiednich równań mają postać:

$$\operatorname{tg}x=1\iff x=\frac\pi4+k\pi,$$ $$\operatorname{ctg}x=-1\iff x=-\frac\pi4+k\pi,$$ $$\operatorname{tg}x=\frac{\sqrt3}{3}\iff x=\frac\pi6+k\pi.$$

Wybieramy największą wartość z każdego podanego przedziału.

I. W przedziale $\langle7;9\rangle$ leży $\frac{5\pi}{2}\approx7{,}85$, czyli miejsce zerowe cotangensa — prawda.

II. Znak $\operatorname{tg}100+\operatorname{ctg}100=\frac{2}{\sin200}$ jest ujemny, bo $\sin200<0$ — prawda.

III. $10-3\pi\approx0{,}575<\frac\pi4$, zatem $\operatorname{tg}10<1$ — fałsz.

IV. $\operatorname{ctg}3<0$, $\operatorname{ctg}4>0$ i $\operatorname{ctg}5<0$, więc iloczyn jest dodatni — fałsz.

a) Dla $k$ rozpatrywanego modulo $3$ argument $\frac{k\pi}{3}$ daje tangens równy kolejno $0$, $\sqrt3$ albo $-\sqrt3$.

b) Każdy argument jest nieparzystą wielokrotnością $\frac\pi4$. Cotangens przyjmuje wtedy naprzemiennie wartości $1$ i $-1$.

Redukujemy argumenty modulo $\pi$ i korzystamy z wartości dla kątów szczególnych.

a) Otrzymujemy kolejno $\frac1{\sqrt3}$, $-1$, $-\sqrt3$.

b) Otrzymujemy $-\sqrt3$, $1$, $-\frac1{\sqrt3}$.

c) Otrzymujemy $-1$, $0$, $-\frac1{\sqrt3}$.

d) Otrzymujemy $0$, $1$, $\frac1{\sqrt3}$.

a) Zera tangensa to $k\pi$. Warunek $5<k\pi<50$ spełniają liczby całkowite $k=2,3,\ldots,15$, czyli $14$ wartości.

b) Zera cotangensa to $\frac\pi2+k\pi$. Ten sam warunek spełniają $k=2,3,\ldots,15$, również $14$ wartości.

Po uproszczeniu równań otrzymujemy kolejno:

a) $\operatorname{tg}x=1$, więc $x=\frac\pi4+k\pi$;

b) $\operatorname{ctg}x=-1$, więc $x=-\frac\pi4+k\pi$;

c) $\operatorname{ctg}x=\frac{\sqrt3}{3}$, więc $x=\frac\pi3+k\pi$;

d) $\operatorname{tg}x=-\sqrt3$, więc $x=-\frac\pi3+k\pi$.

Wybieramy po trzy rozwiązania z $\langle-2\pi;\pi\rangle$ i dodajemy je.