MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 258

Funkcja jest parzysta, a jej dziedzina to $\mathbb R\setminus\{-1,1\}$. Dla $x\geq0$ rozpatrujemy osobno przedziały rozdzielone przez $1$:

Stąd na dodatniej półosi maksima są dla $x=\frac12$ i $x=2$. Z parzystości dostajemy także $x=-\frac12,-2$. Ponieważ po obu stronach zera wartości rosną od $f(0)$, w zerze jest minimum lokalne. Obliczamy $f(\pm2)=\frac14,\qquad f\left(\pm\frac12\right)=-1,\qquad f(0)=-\frac54.$

Niech $t=|x|\geq0$. Wówczas $f(x)=|(t-1)(t-3)|.$ Zera $t=1,3$ dają minima lokalne równe $0$. Na przedziale $1<t<3$ mamy $f=-(t-1)(t-3)=1-(t-2)^2$, więc dla $t=2$ występuje maksimum lokalne $1$. Dla $0\leq t<1$ funkcja $(t-1)(t-3)$ maleje od $3$, zatem symetria względem osi $OY$ daje jeszcze maksimum lokalne $f(0)=3$.

Wykres powstaje z parabol $x^2-4|x|+3$ przez odbicie części leżących poniżej osi $OX$ ponad tę oś.

Różnicę stron nierówności sprowadzamy do postaci

przy $x\neq2,3$. Tabela znaków daje $x\in[1,2)\cup\left(3,\frac{13}{4}\right].$ Ponieważ $f'(x)=3(x^2-m)$, minimum lokalne istnieje dla $m>0$ i jest osiągane przy $x_0=\sqrt m$. Dla całkowitego $m$ warunek $\sqrt m\in[1,2)\cup\left(3,\frac{13}{4}\right]$ daje $m=1,2,3$ albo $m=10$.

Warunek $f(3)=0$ daje $|9-6m+m^2-9|=|m(m-6)|=0,$ czyli $m=0$ lub $m=6$. W obu przypadkach zero wartości bezwzględnej jest minimum.

Dla $m=0$ mamy $f(x)=|x^2-9|$; między jej zerami jest to parabola $9-x^2$, której wierzchołek daje maksimum $f(0)=9$. Dla $m=6$ mamy $f(x)=|(x-6)^2-9|,$ więc analogicznie maksimum lokalne jest w środku zer, czyli $f(6)=9$.

Ekstrema istnieją tylko dla $a<0$, gdy równanie $f'(x)=3x^2+a=0$ ma dwa pierwiastki przeciwne $\pm r$, gdzie $r=\sqrt{-a/3}$. Suma wartości w tych punktach wynosi $f(r)+f(-r)=2(-1-a).$ Wartości są przeciwne wtedy i tylko wtedy, gdy ta suma jest zerem, czyli $a=-1$; warunek $a<0$ jest spełniony.

Mamy $f'(x)=n(x^{n-1}-1),$ więc $x=1$ jest punktem stacjonarnym dla każdego $n>1$. Jeśli $n$ jest parzyste, wykładnik $n-1$ jest nieparzysty i pochodna zmienia w $1$ znak z ujemnego na dodatni. Jeśli $n$ jest nieparzyste, to $n-1$ jest parzyste; również bezpośrednio na lewo od $1$ pochodna jest ujemna, a na prawo dodatnia. Zatem w każdym przypadku $x=1$ jest minimum lokalnym, a $f(1)=1-n+n=1,$ niezależnie od $n$.

a) $f'(x)=3x^2-10x+m$, więc $f'(2)=m-8$. Stąd $m=8$, a wtedy $f'(x)=3x^2-10x+8=(3x-4)(x-2).$ Pochodna zmienia w $2$ znak z ujemnego na dodatni, zatem jest to minimum lokalne.

b) $f'(x)=\frac{-x^2-2mx-4}{(x^2-4)^2},$ więc $f'(4)=0$ daje $-20-8m=0$, czyli $m=-\frac52$. Wtedy licznik pochodnej ma postać $-x^2+5x-4=-(x-1)(x-4),$ zatem w $4$ znak zmienia się z dodatniego na ujemny: jest tam maksimum lokalne.

a) Pochodna jest trójmianem $f'(x)=3x^2-4kx+k.$ Dwa różne zera, a więc po jednym maksimum i minimum, występują dokładnie wtedy, gdy $\Delta=16k^2-12k=4k(4k-3)>0,$ czyli dla $k<0$ lub $k>\frac34$. Dla $0\leq k\leq\frac34$ pochodna nie zmienia znaku, więc ekstremów nie ma.

b) $f'(x)=2x(2x^2-k).$ Dla $k\leq0$ jedynym punktem stacjonarnym jest $0$ i funkcja ma tam minimum. Dla $k>0$ punkty $\pm\sqrt{k/2}$ są minimami, a $0$ maksimum.