MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 257

Dziedzina funkcji to $\mathbb R\setminus\{-2,2\}$. Dla argumentów z dziedziny możemy skrócić czynnik $x-2$:

$$f(x)=\frac{x}{x+2},\qquad f'(x)=\frac2{(x+2)^2}>0.$$

Funkcja jest zatem rosnąca na każdym spójnym przedziale dziedziny i nie ma ekstremów lokalnych. Nie jest jednak rosnąca na całej swojej dziedzinie: na przykład $-3<-1$, lecz $f(-3)=3>f(-1)=-1$.

Dla $x\ne0$ mamy $f'(x)=1-\frac9{x^2}=\frac{(x-3)(x+3)}{x^2}$. Zmiany znaku występują przy $x=-3$ i $x=3$. Odpowiadające punkty to

$$A=(-3,-6),\qquad B=(3,6).$$

Stąd

$$|AB|=\sqrt{(3-(-3))^2+(6-(-6))^2} =\sqrt{36+144}=6\sqrt5.$$

$f'(x)=4x(x^2-2)$, więc w $t=0$ pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny. Funkcja ma tam maksimum lokalne $f(0)=3$.

Szukamy wszystkich argumentów dających tę wartość:

$$f(x)=3\iff x^4-4x^2=0 \iff x^2(x^2-4)=0.$$

Stąd $x\in\{-2,0,2\}$.

Po rozwinięciu $f(x)=x^4-8x^2+7$, zatem $f'(x)=4x(x-2)(x+2)$. Ekstrema są przyjmowane dla $x=-2,0,2$, a odpowiednie punkty to

$$A=(-2,-9),\qquad B=(0,7),\qquad C=(2,-9).$$

Odcinek $AC$ jest poziomą podstawą długości $4$, a wysokość poprowadzona z $B$ ma długość $7-(-9)=16$. Pole wynosi $\frac12\cdot4\cdot16=32$.

Niech $h(x)=x+\frac1x-\frac52$. Jej miejsca zerowe spełniają $2x^2-5x+2=0$, więc są nimi $\frac12$ i $2$. W tych punktach $g=|h|$ ma minima równe $0$.

Dla dodatnich argumentów funkcja $x+\frac1x$ ma minimum $2$ przy $x=1$, dlatego $h(1)=-\frac12$, a po nałożeniu modułu $g$ ma tam maksimum lokalne $\frac12$.

Dla ujemnych argumentów $x+\frac1x$ ma maksimum $-2$ przy $x=-1$. Ponieważ $h<0$ na całym $(-\infty;0)$, funkcja $g=-h$ ma w $-1$ minimum lokalne równe $\frac92$.

Wystarczy podać po jednym przykładzie funkcji spełniającej każdy warunek.

a) Niech $f(x)=-(x^2-1)^2$. Ma maksima lokalne dla $x=-1$ i $x=1$ oraz minimum lokalne dla $x=0$.

b) Niech

$$f(x)=\begin{cases} 10,&x\in\{0,2\},\\ x,&x\notin\{0,2\}. \end{cases}$$

Izolowane podniesione wartości dla $x=0$ i $x=2$ są maksimami lokalnymi, a poza nimi wykres jest lokalnie rosnącą prostą, więc minimów lokalnych nie ma.

c) Niech

$$f(x)=\begin{cases} x-1,&x\in\mathbb Z,\\ x,&x\notin\mathbb Z. \end{cases}$$

Każda liczba całkowita jest argumentem ścisłego minimum lokalnego, a poza nimi funkcja jest lokalnie rosnąca. Maksimów lokalnych nie ma.

$f'(x)=3x^2-4x+k$. Pochodna ma dwa różne zera wtedy i tylko wtedy, gdy $\Delta'=4-3k>0$, czyli $k<\frac43$. Wówczas, ze względu na dodatni współczynnik wiodący, w mniejszym zerze funkcja ma maksimum, a w większym — minimum.

a) Dla $k=-4$ zera pochodnej to $-\frac23$ i $2$. Otrzymujemy maksimum $f(-\frac23)=\frac{67}{27}$ oraz minimum $f(2)=-7$.

Dla $k=1$ zera pochodnej to $\frac13$ i $1$. Otrzymujemy maksimum $f(\frac13)=\frac{31}{27}$ oraz minimum $f(1)=1$.

Dla $k=\frac43$ pochodna ma jedno podwójne zero i nie zmienia znaku, więc ekstremów nie ma.

b) Gdy $k\ge\frac43$, pochodna nie ma dwóch różnych zer i nie zmienia znaku z $+$ na $-$ ani z $-$ na $+$.

Pochodna ma postać $f'(x)=-3x^2+6x+k$. Jej wyróżnik wynosi $\Delta=36+12k=12(k+3)$.

Dla $k>-3$ pochodna ma dwa różne zera i w każdym z nich zmienia znak, więc funkcja ma dwa ekstrema. Dla $k=-3$ mamy $f'(x)=-3(x-1)^2$, zatem znak się nie zmienia i ekstremum nie występuje. Dla $k<-3$ pochodna nie ma zer i funkcja także nie ma ekstremów.

Dla $x\ne0$ zapisujemy $f(x)=\frac{x}{2}+1+\frac1{2x}$, więc $f'(x)=\frac{x^2-1}{2x^2}$. Ekstrema są dla $x=-1$ i $x=1$, co daje punkty $A=(-1,0)$ oraz $B=(1,2)$.

Dla drugiej funkcji $g'(x)=\frac{4x}{(x^2+1)^2}$, więc jedyne ekstremum jest dla $x=0$ i daje punkt $C=(0,-3)$.

Pole trójkąta liczymy z wyznacznika wektorów $\overrightarrow{AB}=(2,2)$ oraz $\overrightarrow{AC}=(1,-3)$:

$$P=\frac12|2\cdot(-3)-2\cdot1|=4.$$