MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 256

Odczytujemy współrzędne punktów, w których wykres przechodzi z rosnącego w malejący albo odwrotnie.

a) Przy $x=0$ wykres ma maksimum lokalne równe $0$, a przy $x=2$ minimum lokalne równe $-4$.

b) W punktach $x=2$ i $x=4$ wykres ma minima lokalne równe $0$, natomiast dla $x=3$ ma maksimum lokalne równe $1$.

c) Minima lokalne są dla $x=-2$ i $x=2$ i mają wartość $0$. Dla $x=0$ wykres ma jeszcze jedno minimum lokalne, równe $3$.

a) $f'(x)=6(x+3)(x-4)$. Znak zmienia się z $+$ na $-$ przy $-3$ i z $-$ na $+$ przy $4$.

b) $f'(x)=-6(x+2)(x-5)$. Znak zmienia się z $-$ na $+$ przy $-2$ i z $+$ na $-$ przy $5$.

c) $f'(x)=4x(x-1)(x+1)$. Kolejne zmiany znaku dają minima dla $x=\pm1$ i maksimum dla $x=0$.

d) $f'(x)=4x(x^2+4)$, więc jedyna zmiana znaku zachodzi przy $x=0$, z $-$ na $+$.

e) $f'(x)=-4x^2(x+3)$. Znak zmienia się tylko przy $x=-3$; przy $x=0$ nie ma zmiany znaku.

f) $f'(x)=15x^2(x-1)(x+1)$. Zmiany znaku zachodzą przy $-1$ i $1$, lecz nie przy $0$.

a) $f'(x)=\frac{6x}{(2x^2+1)^2}$. Znak zmienia się z $-$ na $+$ przy $x=0$.

b) $f'(x)=\frac{-4(x-2)(x+1)}{(x^2+2)^2}$. Znak zmienia się z $-$ na $+$ przy $-1$ i z $+$ na $-$ przy $2$.

c) Dla $x\ne1$ mamy $f'(x)=\frac{x^2(2x-3)}{(x-1)^2}$. Przy $x=0$ znak się nie zmienia, natomiast przy $x=\frac32$ zmienia się z $-$ na $+$.

d) Dla $x\ne\pm1$ znak pochodnej

zmienia się z $-$ na $+$ przy $\frac13$ i z $+$ na $-$ przy $3$.

a) $f'(x)=5x^4-4x+1$, a $f'(1)=2\ne0$. Funkcja jest różniczkowalna, więc konieczny warunek istnienia ekstremum lokalnego w punkcie wewnętrznym nie jest spełniony.

b) $f'(x)=4x(x-3)^2$. Wprawdzie $f'(3)=0$, ale w otoczeniu $3$ mamy $x>0$ i $(x-3)^2>0$ poza samym punktem, więc pochodna po obu stronach jest dodatnia. Nie zmienia znaku, a funkcja po obu stronach rośnie.

Dla $x\ge0$ wykres $g$ jest prawą częścią wykresu $f$, a dla $x<0$ jej odbiciem względem osi $OY$. Z wykresu widać, że prawa gałąź $f$ maleje od punktu $(0,2)$. Po odbiciu obie gałęzie odchodzą w dół od $x=0$, więc w tym punkcie powstaje jedyne ekstremum — maksimum lokalne.

Wykres otrzymujemy przez przesunięcie wykresu $y=|x|$ o $2$ jednostki w górę. Jego wierzchołek ma współrzędne $(0,2)$, dlatego minimum lokalne jest przyjmowane dla $x_0=0$.

Dla $x<0$ pochodna jest równa $-1$, a dla $x>0$ — $1$. Pochodna w $x=0$ nie istnieje, zatem nie zachodzi tam warunek $f'(x_0)=0$.

a) Wyrażenie pod pierwiastkiem to $3(x-1)^2+4$, więc najmniejszą wartość osiąga przy $x=1$.

b) Dziedzina to $(-\infty;-7]\cup[5;\infty)$. Na pierwszej części funkcja maleje, na drugiej rośnie, a końce przedziałów dziedziny nie są punktami wewnętrznymi; nie ma ekstremów lokalnych w przyjętym w rozdziale znaczeniu.

c) Dziedzina to $[2;3]$. Wyrażenie pod pierwiastkiem, równe $-x^2+5x-6$, osiąga maksimum w $x=\frac52$, a pierwiastek zachowuje jego porządek wartości.

d) Dla punktów wewnętrznych dziedziny znak pochodnej jest znakiem $3(x^2-4)$. Zmienia się z $+$ na $-$ przy $-2$ oraz z $-$ na $+$ przy $2$.

e) Dziedzina to $(-1;\infty)$, a $f'(x)=\frac{x-3}{2(x+1)^{3/2}}$, więc przy $x=3$ znak zmienia się z $-$ na $+$.

f) Dziedzina to $[-1-\sqrt3;-1+\sqrt3]$. Dla punktów wewnętrznych znak pochodnej jest przeciwny do znaku $(2x-1)(x+2)$. Zmiany znaku zachodzą przy $x=-2$ i $x=\frac12$.