MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 253

Badamy znaki pochodnych.

a) $f'(x)=x^2-3x-10=(x+2)(x-5)$. Pochodna jest dodatnia poza przedziałem między jej zerami, a ujemna wewnątrz.

b) $f'(x)=12x^2+18x-12=6(2x-1)(x+2)$. Znak jest dodatni dla $x<-2$ i $x>\frac12$, ujemny pomiędzy zerami.

c) $f'(x)=-4x^2+5x=x(5-4x)$. Jest dodatnia dla $0<x<\frac54$, a ujemna poza tym przedziałem.

d) $f'(x)=x^3-4x=x(x-2)(x+2)$. Kolejne znaki, od lewej, to $-$, $+$, $-$, $+$.

e) $f'(x)=x^5+x^4-2x^3=x^3(x+2)(x-1)$. Kolejne znaki wyznaczone przez $-2,0,1$ to $-$, $+$, $-$, $+$.

f) $f'(x)=4x\left(x-\frac12\right)\left(x+\frac12\right)$. Kolejne znaki to $-$, $+$, $-$, $+$.

a) Dziedzina nie zawiera $\frac53$, a $f'(x)=\frac{1}{(5-3x)^2}>0$.

b) Dziedzina nie zawiera $2$, a $f'(x)=-\frac{5}{(x-2)^2}<0$.

c) Dla $x\ne-1$ mamy $f'(x)=1-\frac9{(x+1)^2}=\frac{(x-2)(x+4)}{(x+1)^2}$. Znak zmienia się w punktach $-4$ i $2$, przy czym dziedzinę rozdziela także $-1$.

d) Dla $x\ne0$ mamy $f'(x)=2-\frac8{x^2}=\frac{2(x-2)(x+2)}{x^2}$.

a) Po rozwinięciu $f(x)=x^4-5x^2+4$, więc $f'(x)=4x^3-10x=2x(2x^2-5)$. Punkty krytyczne to $-\frac{\sqrt{10}}2$, $0$ i $\frac{\sqrt{10}}2$. Badanie znaków kolejnych czynników daje naprzemiennie znaki $-$, $+$, $-$, $+$.

b) Dziedzina to $\mathbb R\setminus\{1\}$, a $f'(x)=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$. Mianownik jest dodatni, więc o znaku decyduje $x(x-2)$.

Wykresy są parabolami. Obliczamy pochodne i rozwiązujemy odpowiednie nierówności.

a) $f'(x)=2x+4$, zatem $f'(x)>0$ dla $x>-2$.

b) $f'(x)=2x-8$, zatem $f'(x)>0$ dla $x>4$.

c) $f'(x)=-2x$, zatem $f'(x)>0$ dla $x<0$.

d) $f'(x)=-2-2x$, zatem $f'(x)>0$ dla $x<-1$.

Mamy $f_1'(x)=3x^2-2x+4$. Jego wyróżnik jest równy $4-48<0$, a współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, zatem $f_1'(x)>0$ dla każdego $x$.

Ponadto $f_2'(x)=x^2-8x+20=(x-4)^2+4>0$.

Po rozwinięciu trzeciej funkcji otrzymujemy $f_3(x)=x^3+x^2+3x-5$, więc $f_3'(x)=3x^2+2x+3$. Tutaj również wyróżnik jest ujemny: $4-36<0$, a zatem $f_3'(x)>0$.

Liczymy pochodne:

$$g_1'(x)=-(3x^2+2x+1),\qquad g_2'(x)=-2(x^2+x+1),$$ $$g_3'(x)=-(3x^2-8x+6).$$

Każdy z trójmianów w nawiasie ma dodatni współczynnik przy $x^2$ i ujemny wyróżnik: odpowiednio $-8$, $-3$ oraz $-8$. Jest więc dodatni dla każdego $x$. Wszystkie trzy pochodne są zatem ujemne na $\mathbb R$.